Література

1. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С.Якир – К.: Євро індекс Лтд, 1995. – 336 с.

2. Вишенський В. О. Задачі з математики / В. О. Вишенський, М. О. Перестюк, А. М.Самойленко – К.: Вища школа, 1985. – 264 с.

3. Никифорчин О. Р. Збірник тестових завдань з математики / О. Р. Никифорчин, Р. І.Собкович, А. І. Казмерчук – Івано-Франківськ.: Прикарпатський національний університет, 2006. – 259 с.

4. Алексеев В. М. Элементарная математика. Решение задач / В. М. Алексеев – К.: Вища школа, 1989. – 384 с.

5. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами / Г. А. Ястребинецкий – М.: Просвещение, 1986. – 128 с.

РЕЗЮМЕ

Собкович Р.И., Кульчицкая Н.В. Применение свойств функций при решении задач с параметрами. Во время исследования математических моделей (соотношений, функциональных зависимостей, уравнений, неравенств) часто возникает необходимость решать задачи по определению значений параметров, входящих в их выражение (область определения, множество значений, парность и непарность, монотонность, существование экстремумов). Рассмотрено ряд примеров, какие наглядно демострируют влияние параметров, входящих в аналитическое выражение функции, на ее свойства. Предложено ряд примеров для самостоятельного решения. Статья предназначена для учителей математики.

Ключевые слова: задачи с параметрами, свойства функции, математическая модель, зависимость значения параметра от условия задачи, равнение, неравенство, методика обучения математике, самообразование учителей.

SUMMARY

R. Sobkovych, N. Kulchytska. Application properties of functions for solving problems with parameters. In the study of mathematical models (ratio, functional relationships, equations, inequalities), it is often necessary to solve the problem of determining the values of parameters for which the study object will have certain properties. The article considers the relationship between the properties of the functions and values of the parameters that are included in their expression (domain of definition, the set of values, parity and odd, monotony, the existence of extreme). Showed the number of examples with a resolution that demonstrate the influence of the parameters that are included in an analytical expression of function, on its properties. Proposed number of tasks for independent solving. This article is intended for teachers of mathematics.

Key words: problems with parameters, properties of functions, mathematical model, dependence on the setting of the conditions of the problem, equation, inequality, methods of teaching mathematics, self education teachers.

удк 372.851

Л.Г. Шестакова

Соликамский государственный педагогический институт, г.Соликамск

Шестакова л.Г. Обучение учащихся осуществлять поиск способа решения математической задачи

Обучение учащихся осуществлять поиск способа решения математической задачи должно занимать значительное место. В статье дается характеристика трем основным путям поиска способа решения текстовой задачи: движение от условия к заключению, от заключения к условию и с двух сторон. Выделяются слабые и сильные стороны каждого пути поиска. Рассматриваются возможности их использования в процессе обучения. Предлагается вариант отработки их у школьников, обращается внимание на возможные трудности. Описанная автором работа помогает формировать у детей основные пути поиска способа решения задачи, которые фактически являются универсальными учебными действиями. В результате школьники овладевают умениями осуществлять поиск способа решения задачи (доказательства); обнаруживать новое решение задачи; проводить анализ найденного способа решения с позиции его рациональности.

Ключевые слова: математическая задача, текстовая задача, поиск способа решения задачи, школьники.

Постановка проблемы. Задача на уроках математики занимает значительное место. Первые текстовые задачи школьники начинают решать в начальной школе, они же включены в варианты Государственной итоговой аттестации в 9 и 11 классах. Ее значение для развития мышления школьника трудно переоценить: способствует формированию абстрактного мышления, повышает логическую грамотность. В процессе решения ученик овладевает приемами анализа и синтеза, выдвижения и проверки гипотез, правилами рассуждений, приобретает навыки умственного труда, приучается к самоконтролю.

С введением Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) роль и место задач не уменьшается. В публикации авторского коллектива под руководством А.Г. Асмолова «Разработка модели Программы развития универсальных учебных действий» [1] отмечается, что общий прием решения задач может быть рассмотрен в качестве сложного составного логического действия. Он включает: знания этапов решения (процесса), методов (способов) решения, типов задач, а также владение предметными знаниями (понятиями, определениями, правилами, формулами, логическими приемами и операциями).

Возможности задачи большие, необходимо сделать так, чтобы они как можно полнее были реализованы на практике. Однако, как показывает практика, учащиеся испытывают значительные затруднения, допускают ошибки при решении задач. Многие школьники так и не приобретают необходимых приемов и способов деятельности. Их ставит в тупик любая задача среднего уровня сложности. Основная причина, скорее всего, заключается в том, что дети не умеют осуществлять поиск способа решения. Именно к этому этапу работы часто относятся наводящие вопросы и подсказки учителя.

Анализ актуальных исследований. Вопросам методике обучения школьников решать различные виды задач уделяется значительное место в публикациях разного уровня. Различные аспекты данной проблемы рассматриваются в работах О.Б. Епишевой, Ю.М. Колягина, Г.И.Саранцева, Н. Л. Стефановой, А.А. Темербековой, Л.М. Фридмана и других.

С термином «задача» люди постоянно сталкиваются как на бытовом, так и на профессиональном уровне, решая те или иные проблемы. Т.Е. Демидова, А.П. Тонких отмечают, что проблема решения всех задач, в том числе и возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия [3]. Это может быть поставленная цель, которую необходимо достигнуть; вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и логических умозаключений. В педагогике она характеризуется наличием у учащихся определенной цели, стремлением получить ответ, желаемый результат с учетом имеющихся условий и требований, необходимых для решения. В современной школе решение задач служит одним из средств овладения системой знаний, формирования компетенций, а с переходом школы на ФГОС нового поколения и универсальных учебных действий.

Достаточно широкое распространение получил системный подход к задаче (Г.А.Балл, Ю. М. Колягин, JI. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов и другие). Г.А.Балл предлагает следующее определение: «Задача в самом общем виде – это система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в исходном состоянии; б) модель требуемого состояния предмета задачи (эту модель мы отождествляем с требованием задачи)» [2, с. 32]. Ю.М.Колягин [5] понимает под задачей особую систему «человек – задачная ситуация», где вторым компонентом является множество взаимосвязанных элементов. Если человеку (вступившему в контакт с ситуацией) неизвестен хотя бы один элемент и появляется потребность установить его, то последняя становится для него задачей. Л.М. Фридман связывает понятие задачи с проблемной ситуацией и отмечает, что «генезис задачи можно рассматривать как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу – как модель проблемной ситуации, выраженной с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка» [11, с. 15].

Эвристические методы решения задач охарактеризованы в книгах Д.Пойа, Ю.М.Колягина, Л.М.Фридмана, Л.В.Виноградовой; использование ключевых задач – А.Е.Малых, И.Ф. Шарыгина и других авторов. Однако, прежде всего, детей необходимо научить использовать общие приемы поиска способа решения задачи (на это ориентированы и ФГОС нового поколения, вводимые в школу). Поэтому целью публикации является раскрытие методических аспектов такой работы.

Далее рассмотрим основные пути поиска решения задачи, овладение которыми является метапредметным результатом школьного математического образования. Параллельно будем останавливаться и на вопросах организации работы, направленной на обучение учащихся использовать их в учебной деятельности.

Изложение основного материала. Для того чтобы сформировать какое-либо умение (или прием), в первую очередь, необходимо раскрыть его сущность и объяснить, что оно из себя представляет, как осуществляется на практике. Нужно постараться разъяснить ученикам, что «делает» человек, умеющий работать с задачами, при поиске ее решения.

Рассмотрим три основных пути, которыми можно следовать при осуществлении поиска способа решения (табл. 1), и дадим им характеристику:

– движение от условия к заключению;

– движение от заключения к условию;

– движение с двух сторон.

Сразу отметим, что в реальном процессе работы с математической задачей часто названные пути используются совместно. Однако для удобства характеристики особенностей и для организации деятельности со школьников их лучше разделить.

Таблица 1

Пути осуществления поиска способа решения

1. Движение от условия к заключению	2. Движение от заключения к условию	3. Движение с двух сторон
		* заключение * точка встречи

Дадим характеристику работы каждому направлению.

1. При движении от условия к заключению новое знание (зависимость, значение величины и др.) получается путем разворачивания условия задачи. Человек, осуществляющий поиск способа решения первым путем, задает себе следующие вопросы. Что дано? Что из этого следует? Что можно найти из условия?

Руководствуясь этим, обычно получают какой-то результат (величину, зависимость). Затем обращаются к вопросу задачи. Проверяют, является ли найденный результат искомым. В случае положительного ответа (способ найден) остается оформить решение. В противном случае полученный результат вводят в условие задачи и снова задают себе вопросы. Что дано? Что из этого следует? Что можно найти? Так продолжается до тех пор, пока не будет получен ответ на вопрос задачи. Схема поиска способа решения путем движения от условия к заключению представлена на рисунке 1.

Нет

Да

Рис. 1. Поиск способа решения от условия к заключению

Путь от условия к заключению редко является прямой линией. Он может быть извилистым. Дополнительно появляются ответвления, тупики и веточки, осуществление которых даст другой способ решения. Поэтому после того, как найден способ решения, нужно отбросить все лишнее, выпрямить сам «путь». Решение будет оформляться в том же порядке, в каком осуществлялся поиск. Этот путь (как и другие) имеет свои сильные и слабые стороны. Остановимся на них. Одним из его преимуществ является то, что оформление решения производится в прямом порядке. Ученику легче уловить логику, избежать ошибок. Другой положительный момент – все «найденные» величины, зависимости включаются в условие задачи и могут быть использованы в качестве данных.

Слабая сторона заключается в том, что учитель часто «ведет» за собой. Он ставит вопросы, которые постепенно приближают к цели (вопросу задачи). Поэтому ученикам может быть не понятно, чем они мотивированы. Следовательно, прием осуществления поиска не формируются и не осознаются.

Для устранения названного недостатка нужно целенаправленно учить школьников задавать вопросы самостоятельно, предварительно объяснив им сущность приема. Для достижения этой цели можно использовать сочетание следующих форм организации учебной деятельности:

– поиск способа решения со всем классом;

– поиск способа решения одним учеником (класс проверяет) с последующим высказыванием замечаний и исправлением ошибок;

– самостоятельный поиск способа решения с обязательной проверкой правильности поставленных вопросов.

Одним из сложных моментов для учеников является то, что при проведении поиска может появляться много тупиковых веточек. Это относится (как будет показано далее) и к другим путям. Здесь можно ученикам порекомендовать «тянуть» веточку до тех пор, пока не окажешься в тупике. После чего есть смысл вернуться снова в исходное положение (к условию) и поискать другую идею. Постепенно школьники будут ориентироваться быстрее, они научатся охватывать задачу полностью, составлять о ней целостное представление.

Отметим, что приемы, лежащие в основе поиска способа решения, не относятся к быстро формирующимся. Для их отработки требуется время. Разные ученики их будут осваивать с различной скоростью.

2. Движение от заключения к условию при осуществлении поиска способа решения задачи является наиболее сильным по сравнению с рассмотренным выше. Сущность его состоит в том, что поиск начинается с разворачивания заключения. Человек задает себе следующие вопросы. Что требуется найти? Что достаточно для этого знать? Известно ли это? Рассуждая аналогичным образом, постепенно поднимаются к условию задачи. Очевидно, способ решения будет найден тогда, когда на третий вопрос ответят утвердительно. Схематически движение от заключения к условию представлено на рисунке 2.

Нет

Да

Да

Нет

Рис. 2. Поиск способа решения от заключения к условию

У этого пути есть ряд трудных моментов. Во-первых, оформление решения приходится проводить в обратном порядке осуществленному поиску. Поэтому используются достаточные условия (признаки). Особенно важен этот момент при работе с геометрическими задачами и теоремами. В ходе объяснения ученикам сущности данного пути для профилактики ошибок необходимо обратить их внимание на слово «достаточно» в самом вопросе. (Что достаточно знать?) Во-вторых, школьники часто найденные достаточные условия ошибочно используют в качестве данных (известных). Этот вид ошибок наиболее характерен для геометрических задач. Например, ученику требуется доказать, что два отрезка в точке пересечения делятся пополам. Для этого достаточно доказать, что фигура, вершинами которой являются концы данных отрезков является параллелограммом. После этого ученик ошибочно может сделать следующий вывод: «Если фигура параллелограмм, то по свойству его диагоналей отрезки делятся в точке пересечения пополам».

Рассмотренный путь поиска обладает рядом несомненных достоинств. Если ученик на уроке уследил за мыслью учителя, то мотивация поставленных вопросов будет ему полностью понятна; он ясно представит себе план рассуждения; выкладки и дополнительные построения не покажутся искусственными, а переходы между различными этапами решения мало обоснованными.

3. Движение с двух сторон является объединением рассмотренных выше путей. Именно с помощью него, чаще всего, осуществляется поиск. Однако движение с двух сторон является наиболее сложным для учащихся. Сущность данного приема состоит в том, что, с одной стороны, разворачивается условие. Отвечая на вопрос, что следует из условия, мы получаем одно или несколько следствий (или находим некоторые величины). Принцип описан в пункте 1. С другой стороны, разворачиваем заключение, отвечая на вопрос: «Что достаточно знать для этого?» (п. 2.). Повторяя рассуждения несколько раз, находим точку встречи (цепочки рассуждений от условия и заключения сталкиваются). Это говорит о том, что способ решения найден, остается его оформить.

При оформлении решения, найденного с помощью этого пути, ученику нужно быть предельно внимательным. Рассуждения от условия до точки встречи идут в прямом порядке, а от точки встречи до заключения – в обратном. Другим трудным моментом является наличие большого числа дополнительных веточек, причем они появляются как сверху, так и снизу. Ученики могут в них легко запутаться. Особенности рассмотренного пути требуют, чтобы дети на каждом этапе рассуждений четко представляли, какими величинами, зависимостями можно пользоваться как данными (что получается из условия), а какие нужно доказывать и обосновывать (из заключения). Этот момент требует дополнительных подробных объяснений учителя.

Выводы и перспективы последующих научных исследований. Описанная работа помогает формировать у детей основные пути поиска способа решения задачи, которые фактически являются универсальными учебными действиями. Школьники овладевают умениями осуществлять поиск способа решения (доказательства); обнаруживать новое решение задачи; проводить анализ найденного способа решения с позиции его рациональности.

Приобретенные школьниками способы деятельности будут использоваться как на смежных предметах (физика, химия, информатика, биология и т.д.), так и при продолжении образования.

В направлении продолжения исследования поднятых вопросов можно отметить выявление особенностей приложения описанных путей поиска к различным видам задачи (геометрическим, логическим, текстовым, решаемым арифметическим, алгебраическим графическим способами).