Марченко о.М. Навчання аналізу структури поняття – перший етап формування логічної культури учнів у процесі вивчення математики

У статті викладено інноваційні методи формування логічної культури учнів у процесі вивчення шкільного курсу математики. Детально описано методику навчання аналізу логічної структури математичних понять, який являє собою перший етап формування логічної компетенції шкільної математичної освіти. Проаналізовано базові операції мислення, які беруть участь у формуванні понять, подано приклади сучасних методів аналізу їхньої логічної структури та способів означення. Стаття започатковує серію наступних публікацій даної тематики, які присвячені ознайомленню з розробленим автором новим спеціалізованим курсом для вчителів математики, які навчаються на курсах підвищення кваліфікації в Рівненському обласному інституті післядипломної педагогічної освіти.

Ключові слова: логічна компетенція шкільної математичної освіти, логічні аспекти змісту математичної освіти, логічна структура математичного поняття, логічні операції узагальнення та обмеження понять, логічний аналіз означення математичного поняття, сучасні інформаційні технології як засіб формування логічної компетенції учнів основної школи.

Постановка проблеми. Одним із провідних показників, який визначає рівень освіченості сучасної людини, є сформованість уміння продуктивно критично мислити, логічно обґрунтовувати власну точку зору та грамотно обирати форми її подання. Ці якості особистості роблять її здатною до інтелектуально продуктивного життя в умовах сталого розвитку суспільства, а також є складовими компетентності розуміти проблеми й виклики оточуючого світу, приймати правильні рішення щодо їхнього подолання, ефективно їх реалізувати, а також прогнозувати можливі наслідки своїх рішень та дій.

Вказані зміни сучасної парадигми навчання суттєво актуалізують питання про шляхи формування однієї з ключових компетентностей шкільної математичної освіти – уміння правильно мислити, точно і грамотно виражати свої думки, тобто логічно правильно подавати свою точку зору. Логічні аспекти вивчення математики тісно пов’язані з питаннями формування в свідомості учнів розуміння когнітивної цінності фундаментальних принципів і методів математики як науки.

В умовах, коли логіка поки що не увійшла до переліку обов’язкових шкільних предметів, відповідь на запитання «яким чином вивчення математики дозволяє формувати навички правильного мислення?» очевидна – шляхом розуміння й використання провідних логічних принципів, на яких базується математика як фундаментальна наука.

Аналіз актуальних досліджень. Відомі математики-педагоги, такі як В.Г.Болтянський, Б.В.Гнеденко, О.Я. Хінчин, сучасні вітчизняні та зарубіжні дослідники, зокрема Пасічник Я.А., Сергєєва І.Є., досліджували логічні аспекти змісту математичної освіти, а також питання логічного розвитку учнів у процесі навчання математики. Актуальність результатів їхніх досліджень суттєво зростає в сучасних умовах значного інформаційного перевантаження учнів, і, як наслідок, браку часу для осмислення й використання гуманітарного потенціалу математики, однією із складових якого є логічна культура освіченої людини.

Мета статті. Формування логічної культури учнів є однією з цілей навчання математики, тому акцентувати логічні складові системи математичних знань слід систематично, цілеспрямовано й поетапно. І, оскільки основою системи знань з математики є математичні поняття, перший етап формування логічної культури учнів у процесі вивчення математики слід присвятити аналізу їхньої логічної структури. Виходячи з цих міркувань, метою статті є викладення основних положень сучасної методики навчання аналізу логічної структури математичних понять, яка передбачає використання педагогічно доцільних інформаційних технологій.

Виклад основного матеріалу. Логіка визначає поняття як відображену в свідомості єдність суттєвих властивостей, зв’язків і відношень предметів або явищ, що виконує функції основного структурного елементу людського мислення. Завдяки поняттям людина розрізняє, фіксує, узагальнює результати первісного пізнання, яке здійснюється шляхом відчуттів, сприйнять та уявлень, тому поняття можна розглядати як форму організації знання та елементарну одиницю мисленнєвої діяльності. Використання понять у процесі пізнання дійсності, їх дослідження за допомогою операцій порівняння, аналізу, синтезу, абстрагування, узагальнення, систематизації, класифікації тощо, забезпечує реалізацію пізнавальної діяльності людини.

Базовими операціями мислення у процесі формування понять є аналіз, узагальнення, синтез та абстрагування. Утворення поняття можливе лише завдяки гармонійному поєднанню аналізу, який передбачає розкладання цілого на частини, складного на компоненти, з синтезом, під яким розуміють поєднання різноманітних якостей у певну єдність. Проміжною ланкою між аналізом і синтезом у процесі формування понять виступає операція узагальнення, яку можна розглядати як засіб створення нового пізнавального змісту. Узагальнення відбувається шляхом мисленнєвого переходу від часткового до загального у процесі відкидання деякої видової ознаки поняття, що веде за собою формування нового поняття, яке має ширший обсяг, але менш конкретний зміст. Операція узагальнення не змінює сутності об’єкту, що розглядається, і дозволяє дослідити ознаки, які поєднують його з іншими об’єктами досліджуваної множини.

Наступною мисленнєвою операцією, котра бере участь у формуванні поняття, є абстрагування; за його допомогою будується ідеальний образ об’єкта дослідження. Абстрагування є завершальним етапом теоретичного узагальнення, яке позбавляє предмет дослідження несуттєвих властивостей та дозволяє акцентувати увагу дослідника на інших суттєвих, і, отже, визначальних ознаках. Математика володіє найбільш розвиненою системою теоретичних абстракцій. Найвідомішою математичною абстракцією, яка дозволяє досліджувати кількісні характеристики об’єктів, є число, яке являє собою не лише перше первісне математичне поняття, що його опановує дитина на початку вивчення математики, а й базове поняття для багатьох природничих дисциплін.

Математичні поняття розглядають як форму мислення, що відображає загальні істотні й відмінні (специфічні) властивості та особливості певних предметів або явищ дійсності [3, с.53]. Математичні поняття надають інформаційну основу інтелектуального дослідження оточуючого світу, оскільки вони являють собою абстраговані від реальних ситуацій просторові форми та кількісні відношення дійсності. Працюючи над формуванням логічної культури учнів, вчителеві варто показати учням хоча б на декількох нескладних прикладах, що поняття мають власну логічну структуру, яка складається зі змісту та обсягу, проаналізувати обсяг конкретного поняття як множину об’єктів, що узагальнюються в ньому, а також його зміст як множину суттєвих спільних властивостей, притаманних усім об’єктам (класу однорідних об’єктів), охоплених цим поняттям.

Етап аналізу логічної структури понять слід продовжити розглядом можливих трансформацій їх обсягу та змісту, які виникають при об’єднанні у систему взаємопов’язаних понять, аби дати учням змогу помітити, що між обсягом і змістом поняття існує обернена залежність: чим менший обсяг поняття, тим більший його зміст і навпаки, чим більший обсяг поняття, тим менший його зміст. Це відоме ще з часів Аристотеля положення має статус логічного закону оберненої відповідності між обсягом і змістом поняття, і з прикладної точки зору цей закон логіки можна розуміти так: чим більше інформації про предмети міститься у понятті, тим більш вузьким і визначеним стає коло предметів, які відображаються у ньому.

Навчання аналізу логічної структури понять слід продовжити дослідженням ситуацій, коли обсяг одного поняття становить частину обсягу другого, тобто з’ясуванням взаємозв’язків видових і родових понять. Розуміння логічної сутності закону оберненої відповідності між обсягом і змістом поняття дозволяє учням свідомо здійснювати операції узагальнення та обмеження (спеціалізації) понять. Операція узагальнення поняття інтерпретується як перехід від поняття з меншим обсягом, але більшим змістом, до поняття з більшим обсягом, але меншим змістом. Для здійснення операції узагальнення поняття необхідно абстрагуватись від певних ознак видового поняття з метою розширення класу однорідних об’єктів, які відображаються у цьому понятті. Розмірковуючи в оберненому напрямку, здійснюють операцію обмеження (спеціалізації) поняття.

Процес узагальнення поняття здійснюється шляхом послідовного відкидання видових ознак, і навпаки, процес обмеження (спеціалізації) поняття здійснюється шляхом додавання до змісту поняття суттєвих видових ознак. На уроках узагальнення й систематизації знань з математики результати виконання логічних операцій узагальнення та обмеження понять можна ілюструвати графічно, наприклад, на основі застосування інформаційної технології Microsoft Office – „бібліотека діаграм”. Ця технологія дозволяє учням значно швидше усвідомити, що збільшення змісту поняття веде до зменшення його обсягу і навпаки, зменшення змісту пов’язане із збільшенням обсягу поняття.

Наприклад, систематизацію знань з теми „Многогранники” можна провести шляхом аналізу залежності між змістом і обсягом основних понять теми, сутністю процесів їх узагальнення та обмеження, а потім оформити результати проведеного д ослідження діаграмою, на якій концентричними кругами зображено обсяги взаємопов’язаних понять (рис.1).

1. Куби

2. Прямокутні паралелепіпеди.

3. Прямі паралелепіпеди

4. Чотирикутні призми.

5. Призми Опуклі многогранники.

6. Многогранники.

Рис 1. Схема графічного подання залежності між змістом і обсягом основних понять теми „Многогранники”

На діаграмі кожна довільна внутрішня точка круга відповідає многограннику певного виду (точкам на колах, згідно принципу побудови діаграм Ейлера-Венна, не ставляться у відповідність елементи з обсягу поняття); напрямки шляхів спеціалізації (обмеження) та узагальнення понять вказані стрілками. У процесі обговорення з учнями нової інформації, яка у концентрованому вигляді подається цією діаграмою, вчителю слід, зокрема, конкретизувати, що здійснюючи спеціалізацію (обмеження) ширшого за обсягом поняття (наприклад прямий паралелепіпед) через введення видової властивості (основою є прямокутник) отримують поняття прямокутний паралелепіпед, а шляхом приєднання до родового поняття прямокутний паралелепіпед видової ознаки (усі ребра рівні) отримуємо поняття куб. Використання такого виду наочності дозволяє значно ефективніше здійснювати систематизацію знань учнів з теми «Многогранники» шляхом використання інтерактивних форм учбової діяльності; зокрема, можна запропонувати учням обговорення в парах або малих групах результатів пошуку інших прикладів логічних зв’язків між поняттями, які знаходяться на різних рівнях узагальненої системи знань.

Завдяки використанню цієї достатньо нескладної інформаційної технології учні, шляхом самостійних розмірковувань, підкріплених ефективним унаочненням, усвідомлюють, що при узагальненні здійснюється перехід від видового поняття до родового, а систематизувати ці поняття можна у зворотному порядку, а також те, що при узагальненні видову ознаку поняття відкидають, а при спеціалізації до сукупності ознак родового поняття приєднують видову ознаку. Це означає, що кожний об’єкт з обсягу видового поняття належить і до обсягу родового поняття, але не кожен об’єкт із обсягу родового поняття належить до обсягу видового поняття (наприклад, кожний куб є прямокутним паралелепіпедом, але не кожен прямокутний паралелепіпед є кубом).

Перший етап формування логічної культури учнів у процесі вивчення математики слід завершувати аналізом означень трьох видів понять: первісних (неозначуваних), означуваних та понять, які вводяться шляхом опису, через повідомлення суттєвих властивостей. Осмислення означення як речення, в якому в мовній або символічній формі перелічуються загальні суттєві властивості об’єктів даного поняття, є важливою ланкою вивчення математики, оскільки зміст поняття розкривається з допомогою означення, тоді як його обсяг можна з’ясувати з допомогою класифікації об’єктів, охоплених даним поняттям. З допомогою означення та класифікації окремі поняття об’єднуються в систему взаємопов’язаних понять.

Найпоширенішим способом означення понять в математиці є спосіб формулювання означення через близький рід і видову ознаку. Логічна структура таких означень є достатньо простою – спочатку вказується назва об’єкта поняття, що визначається, потім – назва загального або родового поняття, якому належить означуване поняття, після цього вказується видова ознака, яка й відрізняє дане поняття від усіх інших видів, які входять у розглядуваний рід, наприклад: 1) означення паралелепіпеда: паралелепіпедом називається призма, основою якої є паралелограм; 2) означення простого числа: простим числом називається натуральне число, біль­ше від одиниці, яке має тільки два дільники — одиницю і саме це число.

Загальна логічна схема означення поняття через близький рід і видову ознаку може бути подана в термінах теорії множин таким чином: В={х | х   А і Р(х)} – множина В складається з об’єктів х , які належать множині А – найближчому роду і володіють властивістю Р – видовою ознакою.

Генетичні (конструктивні) означення передбачають такий спосіб означення понять, при якому зміст поняття розкривається за допомогою опису процесу утворення тих об'єктів, які визначаються даним поняттям, наприклад: 1) означення двогранного кута: двогранним кутом називається просторова геометрична фігура, утворена двома півплощинами, які виходять із однієї прямої, а також частина простору, обмежена цими півплощинами; 2) означення сфери: сферою називається поверхня, утворена обертанням півкола навколо свого діаметра. У процесі навчання математики введення багатьох конструктивних означень можна підкріплювати використанням наочних образів, які швидко та ефективно допомагають створювати спеціалізовані програмні засоби. Наприклад, педагогічний програмний засіб Gran-3D дозволить здійснити візуальну підтримку процесу усвідомлення та засвоєння учнями конструктивного означення сфери(рис.2-3):

Рис 2. Перший етап конструювання зображення сфери з допомогою педагогічного програмного засобу Gran-3D

Рис 3. Завершальний етап конструювання зображення сфери з допомогою педагогічного програмного засобу Gran-3D

Означення через узгодження. Досить часто означення задаються не словесним формулюванням, а формулою, тому їх зазвичай застосовують в арифметиці та алгебрі. Наприклад, . Означенням основи натуральних логарифмів є рівність: . Цьому означенню можна надати звичайну словесну форму: числом е називається границя виразу , якщо натуральне число n зростає до нескінченності.

Індуктивні або рекурсивні означення визначають об’єкти, які можна отримати один за одним, по порядку. Такі означення складаються з двох частин: спершу безпосередньо називаються об’єкти, що належать даному поняттю, а потім формулюється правило, що роз’яснює, яким чином із одних таких об’єктів можна дістати інші об’єкти цього ж поняття. Наприклад, означення арифметичної прогресії є таким: числова послідовність, кожний член котрої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові цієї послідовності, доданому до одного і того самого числа, називається арифметичною прогресією. Тут поняттям, що визначається, є арифметична прогресія, родовим поняттям, яке використовується в означенні, є числова послідовність, а за видову ознаку узятий спосіб отримання усіх членів послідовності, починаючи з другого. Символічно це означення подають рекурентною (від слова рекурсія – повернення назад) формулою a_n = a_n-1 + d, де n ≥2. Формулювання висновку в цьому означенні відбувається шляхом руху думки від часткового до загального, тому сформульоване таким способом означення належить до класу індуктивних означень. Іншим прикладом індуктивного означення є твердження, що описує спосіб отримання натуральних чисел: 1)1 — натуральне число; 2) Якщо п — натуральне число, то п + 1 також натуральне число; 3) Ніяких інших натуральних чисел, крім зазначених в п.п. 1-2 немає. Це означення породжує натуральний ряд чисел: 1, 2, 3, .... п, п+1, ... починаючи з одиниці.

Навчання учнів аналізу означень слід завершувати бесідою про те, що не всі математичні поняття можуть бути визначені вказаними вище способами, оскільки кожне означення математичного поняття зводить його до ширшого за обсягом поняття – родового поняття, означення родового поняття своєю чергою зводиться до поняття ще ширшого обсягу і так далі. Очевидно, що процес зведення означуваних понять до понять ширшого обсягу повинен бути скінченним. Це означає, що зрештою ми дістанемо такі поняття, які вже неможливо звести до понять ширшого обсягу, тобто мова йде про поняття іншого виду, які логічно не визначаються. Це первісні математичні поняття, з якими, наприклад, знайомлять дітей на початку вивчення геометрії – точка, пряма, відстань. Первісні поняття не потребують означень, однак із цього не слідує, що ми не можемо знати їхнього змісту, оскільки в шкільному курсі математики їх розкривають за допомогою опису, а в науковій літературі – за допомогою системи аксіом.

Висновки. Підсумовуючи перший етап формування логічної культури учнів у процесі вивчення математики, який передбачає використання сучасної методики навчання учнів прийомів логічного аналізу структури математичних понять, їх видів та способів їх означень, слід зазначити, що робота вчителя з логічної підготовки учнів на уроках математики повинна бути цілеспрямованою та системною під час опанування всіх рівнів системи математичних знань, понять, на яких вона ґрунтується, та зв’язків між ними. Тому перспективний напрямок підвищення професійної кваліфікації вчителів математики в системі післядипломної педагогічної освіти повинен передбачати формування їхньої компетентності щодо навчання учнів аналізу суджень, які служать для поєднання понять з метою відображення зв’язків між ними – аксіом та теорем. Досягненню цієї мети присвячено другий розділ нового спеціалізованого курсу для вчителів математики, які навчаються на курсах підвищення кваліфікації в Рівненському обласному інституті післядипломної педагогічної освіти.