4.2.Начисление простых процентов

Если PV – текущая сумма, а i – ставка процента, то будущую сумму FV при простом начислении процентов для n периодов (лет) можно определить как

FV=PV*(1+i*n).

Дисконтирование – процесс приведения будущих доходов к их текущей стоимости. Дисконтирование – всегда уменьшение суммы. Математически дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной приращению первоначальной суммы долга.

PV=FV/(1+i*n),

где 1/(1+i*n) – коэффициент дисконтирования (дисконтный множитель);

Коэффициент дисконтирования – коэффициент, используемый для преобразования будущих значений стоимости в текущую стоимость.

D=FV-PV – дисконт FV.

4.3 Первая (прямая) функция сложного процента. Накопление суммы денежной единицы

Сложный процент означает, что полученный процент, положенный на депозит вместе с первоначальными инвестициями, становится частью основной суммы. В следующий промежуток времени он наряду с первоначальным депозитом уже сам приносит процент. Простой процент не предполагает получение дохода с процента.

Год	Проценты	Будущая стоимость
1	PV*i	FV=PV+PV*i = PV*(1+i)
2	PV*(1+i)*i	FV= PV*(1+i) + PV*(1+i)*i = PV*(1+i)2
…	…	…
n	PV*(1+i)n-1*i	FV= PV*(1+i)n

Наращение суммы по сложным % можно представить как последующее реинвестирование средств, вложенных под простые % на один период начисления. Присоединение начисленных % к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией %.

Предположим, что 100 руб. положены на счет, ставка по которому составляет 10% и этот процент накапливается раз в год.

Год		Сложный процент	Простой процент
0	Депозит	100,00	100,00
1	Полученный процент	10,00	10,00
	Остаток, конец года	110,00	110,00
2	Полученный процент	11,00	10,00
	Остаток, конец года	121,00	120,00
3	Полученный процент	12,10	10,00
	Остаток, конец года	133,10	130,00
4	Полученный процент	13,31	10,00
	Остаток, конец года	146,41	140,00
5	Полученный процент	14,64	10,00
	Остаток, конец года	161,05	150,00

По истечении 5 лет остаток на счете при сложном проценте составит 161,05 руб., а при простом проценте – 150 руб.

Силу сложного процента можно показать на следующем примере. Если бы индейцы, продавшие в 1626 году остров Манхэттен Питеру Миньюту за товары стоимостью 24 дол., инвестировали эти 24 долл. под ежегодно накапливаемые 6%, то в 1983 году (через 357 лет) сумма этих вложений составила бы почти 26 млрд. долл. Если бы индейцы инвестировали под ежегодно накапливаемые 7%, то остаток достиг бы астрономической суммы 741 млрд. долл. В то же время при 6%-ной простой ставке за тот же период времени 24 долл. превратились бы только в 538,08 долл., при 7%-ной простой ставке – только в 623,76 долл.

Л огика сложного процента очевидна. Все деньги, которые оставлены на депозите, должны приносить процент. Рисунок 3 показывает графический рост основной суммы сегодняшних вложений до расчетной будущей стоимости с учетом сложного процента.

Рис. 3  Рост основной суммы по сложному проценту

Специальные таблицы шести функций денежной единицы помогают экспертам-оценщикам вести расчеты с использованием сложных процентов. Каждая страница таблицы рассчитана, по крайней мере, на 30 лет. Таблицы состоят из шести колонок, в которых помещены значения, полученные исходя из шести функций денежной единицы. Таблицы приведены в приложении к учебно-методическому пособию.

В специальных таблицах шести функций денежной единицы данные о накопленной сумме в 1 рубль по сложному проценту содержатся в 1 колонке. Зная, какова будет стоимость 1 руб. к концу 8 года, оценщику не составит труда определить, какова будет стоимость 137 руб. – надо умножить 137 руб. на стоимость одного рубля к концу 8 года.

Во всех таблицах сложного процента используется формула:

FV=(1+i)ⁿ,

где FV – сумма после n периодов;

i – периодическая ставка процента (в долях);

n – число периодов.

Правило 72-х использует число 72 для примерного расчета количества лет, необходимых для увеличения денежной суммы в два раза при том, что весь процент остается на депозите. Чтобы рассчитать этот срок, необходимо разделить 72 на ставку процента, выраженную целым числом. Это правило достаточно хорошо срабатывает от 3 до 18%.

72:3=24 года; 72:4=18 лет; 72:12=6 лет.

Правило 72 действует также и в обратном направлении. Если известно, что за шесть лет 10000 руб. превратились в 20000 руб., то сложная годовая ставка составляет примерно 12%. Если же 10000 руб. удвоились за 10 лет, то ставка равна примерно 7,2%. (см. рис. 4).

Р ис. 4  Правило 72-х – время, необходимое для увеличения денежной суммы в два раза при сложном проценте.

Более частое накопление может происходить ежедневно, раз в месяц, квартал, в полгода или непрерывно. Обычно устанавливается номинальная годовая ставка, но при более частом накоплении ставка повышается и называется эффективной. Общая формула остается той же, однако число лет, на протяжении которых происходит накопление, умножается на его частоту в течение одного года; одновременно номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления.

FV=PV*(1+i/m)^m*n.

Например, 10% ставка при ежеквартальном накоплении означает в действительности, что процент будет выплачиваться по ставке 2,5% за каждый квартал года, то есть четыре раза. Если накопление происходит ежемесячно, то выплачиваемый за месяц процент составит 0,1:12=0,00833.

Чем выше частота накопления, тем быстрее растет денежный остаток. Это означает, что эффективная годовая ставка будет выше номинальной годовой ставки. Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получается в целом за год от начисления %.