6.3. Функція корисності

Якщо відомі можливі альтернативи та їх показники корисності, можна побудувати функцію корисності, яка дає основу для порівняння і вибору рішень.

Функція корисності становить числову обмежену функцію F(a) , визначену на множині альтернатив А={а_k}, k =1,2,...,I, так, що F(a_i)= F(a_j) коли альтернативи a_i і a_j неможливо розрізнити (a_i a_j), тобто не можна віддати перевагу ні тому, ні іншому результату, і F(a_i)>F(a_j) коли альтернатива a_i переважніше альтернативи a_j (a_i>a_j) як це, наприклад, показано на рис. 6.1.

Методи побудови функції корисності у разі багатокритеріального вибору діляться на евристичні та аксіоматичні [14 – 16].

До евристичних методів відносять: метод головного критерію і метод узагальненого критерію або згортки критеріїв, які розглядалися в темі 4.

Метод головного критерію зводиться до оптимізації по одному вибраному критерію, за умови, що інші критерії не більше (або не менше) прийнятних значень.

Метод узагальненого критерію полягає в згортці набору критеріїв у числову функцію, яка є функцією корисності.

Розрізняють такі види згорток: лінійна або адитивна згортка, максимінна згортка, мультиплікативна згортки (розглядалися в темі 4).

Аксіоматичні методи побудови функції корисності – це формальні методи, засновані на тому, що формулюються спеціальні припущення (аксіоми) про властивості переваги альтернатив, виконання яких гарантує існування функції корисності конкретного виду.

Рис. 6.1. Функція корисності п'яти альтернатив

Зазвичай, при використанні таких методів функцію корисності будують в адитивному вигляді як суму функцій корисності за кожним критерієм з деякими ваговими коефіцієнтами ₁,…,_n.

f= ₁f₁+... +_nf_n . (6.1)

Множина методів вирішення багатокритеріальних задач заснована на трьох важливих особливостях.

По-перше, вважається, що не існує рішення, найкращого в незалежному від ОПР сенсі. Завжди рішення може бути найкращим лише для даного ОПР.

По-друге, вважається, що не існує оптимального рішення при виборі системи для всіх цілей і впливів зовнішнього середовища. Система може бути ефективною тільки для конкретної мети і в конкретних умовах. У інших умовах і для інших цілей система може бути неефективною.

По-третє, методи дослідження операцій (лінійне, нелінійне, динамічне програмування та ін.) не задовольняють вимогам, що пред'являються до завдань оцінювання складних організаційних систем, оскільки вид цільової функції або невідомий, або не заданий аналітично, або для неї відсутні засоби рішення.

6.4. Задачі прийняття рішень з точки зору корисності та імовірності

Постановка задач прийняття рішень з точки зору корисності та імовірності подій звичайно полягає в такому: ОПР вибирає якісь дії в середовищі, де на одержуваний результат (результат) дії впливають випадкові події, непідвладні йому. Маючи деякі знання про імовірності цих подій, ОПР може розрахувати найбільш вигідну сукупність і черговість своїх дій.

Розроблені, і діють на практиці різні методи побудови функції корисності [11]. Наприклад, при аналізі рішень, пов'язаних з інвестиціями, і в багатьох інших бізнес-додатках функція корисності має вигляд:

(6.2)

де x – грошова сума, якій відповідає певне значення корисності,

r – міра схильності до ризику.

Чим більше r, тим менше компанія уникає ризику, чим менше r, тим більше компанія уникає ризику.

Існує безліч варіантів визначення параметра r. Фахівець в області прийняття рішень Рон Ховард (Ron Howard) знайшов епмпіричну залежність між величинами чистого прибутку, капіталу, обсягом чистих продажів компанії та її схильністю до ризику [11]. За його розрахунками значення r приблизно дорівнює 124 % від чистого прибутку, 15,7 % від капіталу і 6,4 % від обсягу чистих продажів (у негрошовому еквіваленті).

Зазвичай для вирішення задач прийняття рішень в умовах ризику застосовуються методи теорії одновимірної і багатовимірної корисності [2]. Основна ідея цієї теорії полягає в отриманні кількісних оцінок корисності можливих результатів, які є наслідками процесів прийняття рішень. Надалі на підставі цих оцінок вибирають найкращий результат.

Теорія прийняття рішень та аналіз рішень засновані на роботах Джона фон Неймана і Оскара Моргенштерна [11].

Нехай G=g₁,…,g_n – множина результатів, p_i(s) – імовірність результату g_i при використанні стратегії s S. Множина випадків G=g₁,…,g_n кінцева, а розподіл  і  пари порівнюваних стратегій s S задаються векторами ймовірностей і відповідно.

Нехай результати оцінюються за єдиним критерієм K(g). Кожному результату відповідає функція корисності f(g_i). Кожна стратегія s характеризується очікуваною корисністю M_s[f].

У цьому випадку математичні очікування функції корисності обчислюються за формулами:

(6.3)

(6.4)

Рішення задачі прийняття рішень слід шукати у вигляді:

(6.5)

У даній постановці задачі варіанти дій зазвичай не оцінюються за багатьма критеріями і розглядаються кілька послідовних дій, що дозволяє побудувати так звані дерева рішень.

У разі нескладної структури і відсутності громіздких обчислень розрахунок можна виконати без застосування спеціальних інструментів, проте випадкові (події) результати g_i можуть послужити основою для виконання наступного кроку прийняття рішень. Тоді імовірність настання наступної випадкової події g_j залежить від імовірності попередньої події g_i. У цьому випадку необхідно оцінювати умовну імовірність настання подій згідно з теоремою Байєса [7] і доцільно скористатися спеціальними інструментами побудови дерева рішень.

Далі приведені деякі положення з теорії ймовірностей, які знадобляться при побудові моделі прийняття рішень.