6.5. Деякі положення з теорії імовірності

Події A та B є несумісними, якщо ймовірність сумісної появи A та B дорівнює нулю [7; 83].

Сумою двох несумісних випадкових подій A та B є подія C, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій.

Імовірність суми двох несумісних випадкових подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P(A+B)= P(A)+P(B) . (6.6)

Якщо несумісні події утворюють повну групу, то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці.

Події A та B є сумісними, якщо ймовірність появи A та B не дорівнює нулю.

Сумою двох сумісних випадкових подій A та B є подія C, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій чи обох цих подій.

Добутком двох сумісних випадкових подій A та B є подія, що полягає в спільній появі цих подій.

Події A та B є незалежними, якщо ймовірність настання однієї з них не залежить від появи другої.

Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їхніх ймовірностей:

P(A×B)= P(A)×P(B) . (6.7)

Імовірність добутку двох залежних подій A та B дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну вірогідність іншої, отриману за умовою, що перша подія мала місце:

P(A×B)= P(A)×P(B/А). (6.8)

Якщо подія A може статися тільки за умови появи однієї з подій B₁, B₂,… B_n, які утворюють повну групу несумісних подій, то імовірність події A дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій B₁, B₂,… B_n на відповідну умовну імовірність події A. Вірогідність настання події A розраховується за формулою повної вірогідності:

(6.9)

Формула Байєса застосовується при вирішенні практичних задач, коли подія A , яка з’являється сумісно з якоюсь з подій B₁, B₂,… B_n, які утворюють повну групу несумісних подій, мала місце та необхідно виконати переоцінку ймовірностей подій B₁, B₂,… B_n. Апріорні імовірності P(B_i) подій B₁, B₂,… B_n відомі. Необхідно обчислити апостеріорні вірогідності P(B_i/A). Вони обчислюються за формулою Байєса:

(6.10)

Питання для самоперевірки

1. Розкрити зміст поняття "якнайкраще рішення".

2. Розкрити зміст поняття "раціональний вибір".

3. Розкрити зміст поняття "ефективність рішення"

4. Розкрити зміст поняття "корисність".

5. Розкрити зміст поняття "функція корисності" і навести приклади побудови функції корисності при вирішенні багатокритеріальних задач.

6. Розкрити зміст поняття "сумісні випадкові події".

7. Розкрити зміст поняття "несумісні випадкові події".

8. Розкрити зміст поняття "незалежні випадкові події".

9. Розкрити зміст поняття "залежні випадкові події".

10. Розкрити зміст поняття "умовна імовірність".

11. Розкрити зміст поняття "формула Байєса".

Контрольні запитання та задачі

1. Привести приклад задачі прийняття рішень в умовах визначеності і пояснити зміст функції корисності в цьому випадку.

2. Привести приклад задачі прийняття рішень в умовах наявності багатьох критеріїв і пояснити зміст функції корисності в цьому випадку.

Резюме за темою

Вибір найкращого рішення в умовах багатокритеріальності, ризику або доброякісної невизначеності, повної невизначеності, за наявності нечіткої інформації є неоднозначною задачею і багато в чому залежить від ОПР. При цьому розглядають різні способи побудови функції корисності.

У разі багатокритеріальності розрізняють евристичні та аксіоматичні методи.

До евристичних методів відносять: метод головного критерію і метод узагальненого критерію або згортки критеріїв (тема 4).

Аксіоматичні методи побудови функції корисності – це формальні методи, засновані на тому, що формулюються спеціальні припущення (аксіоми) про властивості переваг альтернатив, виконання яких гарантує існування функції корисності конкретного виду.

У разі ризику застосовують метод побудови дерева рішень (тема 7).

У разі повної невизначеності застосовують критерії: Лапласа, Вальда, Севіджа, Гурвіца (тема 9).

У разі нечіткої інформації застосовують методи нечіткої логіки (тема 10).