9.2. Теорія статистичних рішень
Теорія статистичних рішень близька по ідеях до теорії ігор. Від теорії ігор вона відрізняється тим, що невизначена ситуація не має конфліктного забарвлення. Ніхто нікому не протидіє.
У цьому випадку невизначеність пов'язана не з діями "супротивника", а з об'єктивною дійсністю, яку в теорії статистичних рішень називають "природою". "Природа" представляється як якась незацікавлена інстанція, поведінка якої невідома.
Теорію статистичних рішень може тлумачити як теорію пошуку оптимальної недетермінованої поведінки в умовах невизначеності.
Сучасна концепція статистичного рішення висунута А. Вальдом, і вважає поведінку оптимальною, якщо вона мінімізує ризик у послідовних експериментах, тобто математичне очікування збитків статистичного експерименту [7; 77; 78].
Як зазначалося в темі 7, у задачах теорії статистичних рішень розглядаються платіжні матриці (для дискретного випадку), або платіжна функція (в безперервному випадку).
Значення в платіжній матриці, або в платіжній функції залежать від 2-х чинників: стан природи, варіанти рішень ОПР.
У матриці платежів розглядаються m можливих стратегій: А1, А2, … Аm,. У стовпцях – стратегії природи: П1, П2, … Пn, aij , – виграш при кожній парі стратегій. Необхідно вибрати таку стратегію Аi гравця A, яка є найвигіднішою порівняно з іншими.
Коли вірогідність станів природи не піддається оцінці, то для прийняття раціонального рішення роблять спробу знайти не найгірше вирішення. В цьому випадку все залежить від точки зору ОПР на ситуацію, від позиції дослідника, від того, якими бідами загрожує невдалий вибір вирішення. У разі, коли вірогідності pj існують, але ОПР вони невідомі, розроблені спеціальні критерії прийняття рішень: критерій Лапласа, критерій Вальда, критерій Гурвіца, критерій Севіджа [7; 77; 78].
Далі приведені класичні критерії прийняття рішень в іграх з природою в умовах повної невизначеності.
Як приклад застосування критеріїв розглядається задача теми 7 про ввід до ладу раціональної кількості агрегатів. Відмінністю умов вирішення задачі є відсутність вірогідності введення до ладу певної кількості агрегатів. Відома матриця значень aij прибутку підприємства (грн.), де кожному з варіантів кількості придбаного устаткування відповідає варіант кількості устаткування, яке можливо ввести в дію.
9.2.1. Класичні критерії прийняття рішень в іграх з природою в умовах повної невизначеності
9.2.1.1. Критерій Лапласа
При використовуванні критерію Лапласа умова невизначеності інтерпретується як припущення про рівну вірогідність появи всіх можливих станів природи. В основі цього критерію лежить "принцип недостатньої підстави" [7; 77; 78]. У цьому випадку виконується пошук варіанта вирішення, для якого виконується така умова:
(9.7)
Оскільки при використовуванні критерію Лапласа всі вірогідності рівні, для визначення якнайкращого вирішення можна просто підсумувати значення платежів, які відповідають кожному вирішенню, і вибрати те вирішення, яке матиме максимальну суму (що також відповідає максимальному очікуваному платежу). Хоча в багатьох ситуаціях "рівновірогідний підхід" дає цілком прийнятне рішення, в інших ситуаціях він дає явно неправильні вирішення. Причина цього полягає саме в умові рівної вірогідності станів природи.
Незнання вірогідності станів зовсім не гарантує рівності їх реальних значень. Якщо в якій-небудь ситуації вірогідність прояву одного або декількох станів явно і значно перевершує вірогідність прояву інших станів природи, то рішення, отримане на підставі критерію Лапласа, очевидно, буде далеким від якнайкращого. З цієї причини розроблені інші критерії прийняття рішень в умовах невизначеності, які не спираються на вірогідності станів природи, з них найпопулярнішими є:
критерій Вальда;
критерій Севіджа;
критерій Гурвіца.