9.1. Теорія ігор і теорія статистичних рішень у моделях теорії прийняття рішень

9.1.1. Ігрові методи прийняття рішень

Розділ математики "Теорія ігор і статистичних рішень" має в своєму розпорядженні методи вирішення задач прийняття рішень в умовах повної або "поганої" невизначеності [7; 82].

У деяких випадках ці методи дозволяють знайти оптимальні рішення, але частіше вони дозволяють просто глибше розібратися в ситуації, оцінити кожне рішення з різних точок зору й ухвалити рішення, якщо не єдино правильне, то продумане. Найпростішими з ситуацій, що містять "погану невизначеність" є конфліктні ситуації, коли стикаються інтереси двох або більш сторін, що переслідують різну мету, причому виграш кожної сторони залежить від того, як поведуться інші. Це різні ситуації бойових дій, ситуації конкурентної боротьби, ситуації в спорті і т. д.

Теорія ігор (ТІ) є математичною теорією конфліктних ситуацій.

Мета ТІ – розробка рекомендацій до розумної поведінки учасників конфлікту або пошук на цій основі оптимальних рішень.

Гра – це математична модель ігрової ситуації, деяка спрощена схема, де зафіксовані самі гравці, правила гри, певні виграші після кожного ходу, правила закінчення гри.

Конфліктуючі сторони називаються гравцями, одне здійснення гри – партія, результат гри – виграш або програш. Причому виграш або програш має кількісний вираз.

Якщо стикаються інтереси двох учасників – гра парна, якщо більшої кількості гравців – множинна. Учасники множинної гри можуть утворювати коаліції. Множинна гра з двома постійними коаліціями перетворюється в парну. Розвиток гри в часі представляють як ряд послідовних ходів учасників.

Ходом гри називається вибір гравцем одного з передбачених правилами гри дій. Розрізняють ходи особисті і випадкові.

При особистому ході гравець самостійно вибирає дію. При випадковому ході вибір здійснюється яким-небудь механізмом випад- кового вибору (киданням монети, гральної кістки і т. д.).

Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій при кожному особистому ході.

Залежно від числа стратегій гри діляться на кінцеві і нескінченні. Наприклад, у грі в шахи набір стратегій кінцевий, але такий великий, що повний їх перелік практично неможливий.

Оптимальною стратегією гравця називається така, яка забезпечує йому якнайкраще становище в грі, тобто максимальний виграш.

Задача ТІ – виявлення оптимальних стратегій гравців. Основне припущення, виходячи з якого знаходяться оптимальні стратегії, полягає в тому, що супротивник щонайменше так само розумний, як і сам гравець.

Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю (кожний гравець виграє за рахунок інших). Найпростіша гра з нульовою сумою – парна гра – називається антагоністичною грою (або грою із суровим суперництвом).

9.1.1.1. Матричні ігри антагоністів

Нехай у грі беруть участь два гравці А і В. У гравця А є m можливих стратегій А₁, А₂, … А_m, у супротивника – n можливих стратегій: В₁, В₂, … В_n,. Це гра m n. У табл. 9.1 приведені стратегії гравців і значення a_ij – виграшів гравця А, якщо він користується стратегією А_i, а супротивник при цьому користується стратегією В_j (табл. 9.1).

Таблиця 9.1