Що означає “зміна вартості грошей у часі”? Графічна інтерпретація зміни вартості грошей у часі.
Незважаючи на те, що концепція вартості грошей у часі подається через методики практичних розрахунків, вона має важливе теоретичне значення для розуміння сутності фінансового менеджменту.
Сама ж вона грунтується на категорії альтернативної вартості і має відношення до питань, що безпосередньо пов’язані з прийняттям повсякденних фінансових рішень.
Майбутня вартість грошей
У 1624 році індіанці продали острів Манхеттен за надзвичайно низьку ціну – 24 дол. Якщо б вони не витрачали ці гроші, а інвестували б їх з розрахунку 5% річних, то у 2006 році мали б 2,98 млрд. дол. –суму, достатню для того, щоб купити багато ділянок у Нью-Йорку.
Якщо б індіанці були більш проникливими, вони інвестували б свої 24 дол. під 7% (складних) щорічно і зараз мали б уже 4025,44 млрд. дол. Ватажок племені міг би за багатством конкурувати з найбагатшими особами світу [1].
Наведені розрахунки відомі як DCF-аналіз (discounted cash flow analysis).
Припустимо, що інвестор має 1000 грн. і хотів би дізнатися, скільки вони коштуватимуть через 4 роки, якщо їх вкласти під 15%.
1 рік 1000 × 1,15 = 1150
2 рік 1150 × 1,15 = 1323
3 рік 1323 × 1,15 = 1521
4 рік 1521 × 1,15 = 1749
Після 4-го року в інвестора опиниться 1749 грн. Розрахунки для кожного року проводилися за формулами:
FV1=PV0(1+k);
FV2=FV1(1+k)=PV0(1+k)(1+k);
FV3=FV2(1+k)=PV0(1+k)(1+k)(1+k);
FV4=FV3(1+k)=PV0(1+k)(1+k)(1+k)(1+k).
Таким чином, узагальнена формула для будь-якого року має вигляд:
FVt=PV0(1+k)t.
FVt – (future value) майбутня вартість – сума грошей, до рівня якої можуть зрости інвестиції за певний проміжок часу t, якщо вони “заробляють” певну ставку процента, яка нараховується щорічно.
Процес визначення майбутньої вартості називається компаундінгом.
Рис. 7. Порівняння теперішньої вартості (PV) та майбутньої вартості (FV)
Очевидно, що майбутня вартість для року t перевищує теперішню у (1+k)t разів. Величина (1+k)t є множником майбутньої вартості (future value interest factor – FVIF):
(1+k)t =FVIFkn.
Сучасне програмне забезпечення (Excell) оснащено підпрограмами розрахунків майбутньої вартості.
З рівноваги “borrowing-lending” можна побачити (рис. 7), що у разі заощадження у поточному році 1 грн. (С1) вартість цієї суми зросте у наступному році до С2=1(1+k). Тобто величина С2 є майбутньою вартістю однієї грн., що її було заощаджено або інвестовано. Навпаки, С1 виступає як теперішня вартість.
Теперішня вартість грошей
Теперішня вартість PV (present value) є показником протилежним. Вона постає як сума, яку потрібно вкласти для того, щоб через певний час за умови визначеного процента отримати 1 грн. Таким чином,
Теперішня вартість, є сумою грошей, яка, якщо її інвестувати у поточному році під даний процент k, зросте через t років у майбутньому до необхідного або бажаного рівня. Припустимо, що дехто хотів би мати через 4 роки 1000 грн., яких недостає до суми сплати за навчання дитини у престижному університеті. Якщо середня ставка по депозитах становить 15%, яку суму йому слід віднести до банку? Всього 247,19 грн.
1 рік 247,19 × 1,15 = 284,3
2 рік 284,27 × 1,15 = 375,9
3 рік 375,95 × 1,15 = 571,8
4 рік 571,77 × 1,15 = 1000,0
Перевіримо: PV(FVIF15%,4) = 247,19 грн.
Величина 1/(1+k)t є множником теперішньої вартості (present value interest factor – PVIF):
1/(1+k)t =PVIFk,n.
Теперішня вартість – це єдиний правильний шлях для конвертації потоків майбутніх платежів у сьогоднішні гроші.
Ануїтет: майбутня вартість
Ануїтет (annuity) – серія рівних, періодичних платежів або рахунків. Розрізняють два види ануїтетів:
1. Звичайний, або відкладений (ordinary or deferred annuity), – коли платежі здійснюються наприкінці кожного періоду.
2. Попередній (annuity due) – коли платежі або виписка рахунків здійснюються на початку кожного періоду.
Звичайний ануїтет – це зобов’язання особи сплачувати періодично (наприклад, щорічно) наприкінці року певну суму у вигляді внеску з розрахунку k процентів. Якщо особа уклала угоду про ануїтет і мусить вкладати протягом 3-х років на ощадний рахунок рівними сумами 2000 грн. із розрахунку 18% річних, то після закінчення дії угоди вона
буде мати 7144,80 грн. Ця сума і є майбутньою вартістю ануїтету (FVA – future value of annuity).
де: PMT (payment at the maturity term) – сума ануїтетного платежу.
FVIFAk,t (future value of annuity interest factor) – множник майбутньої вартості ануїтету.
Для розрахунку FVIFA можна скористатися наступною формулою:
Попередній ануїтет (annuity due).
Формула для розрахунків попереднього ануїтету має вигляд:
FVAn=PMT(FVIFAk,n)(1+k).
Спрощена формула для розрахунку FVIFA з урахуванням (1+k)
Ануїтет: теперішня вартість
Спрощена формула для множника теперішньої вартості звичайного ануїтету виглядає як
Для попереднього ануїтету, коли кожен платіж здійснюється на початку року, формула множинника набуває вигляду:
PVAn=PMT(PVIFAk,n)(1+k).
При випадку, який наводиться як приклад, теперішня вартість попереднього ануїтету буде $2,859.36 (порівняйте з $2,723.20 для звичайного ануїтету).
Перпетьютет (perpetuity), або “довічна рента”
Звичайні ануїтетні зобов’язання обумовлюють платежі протягом певного визначеного періоду часу t. Іноді ануїтетна угода або процедура не обмежує у часі дію зобов’язань. Це так званий перпетьютет, тобто ануїтет, який продовжується протягом невизначеного терміну або довічно. Прикладом перпетьютету є привілейовані акції, які приносять фіксовані доходи протягом періоду, тривалість якого не обмежена. Теперішня вартість перпетьютету визначається як PV perpetuity PMT
Як видно, вартість зобов’язань у формі перпетьютету значним чином залежить від ставки процента й визначається, виходячи із загального принципу оцінки вартості активів.
Позики (або кредити), що амортизуються (amortized loans)
До них відносяться кредити, які необхідно повертати ритмічно рівномірними платежами: кредити на купівлю товарів, під закладні для купівлі будинків тощо. Припустимо, що фірма позичила 6000 грн. На чотири роки під 15% річних з умовою повернення рівними частками щорічно (табл. 11).
PV PMT PVIFAk* n
Ефективна та середньорічна ставки процента
Інший спосіб приведення заявлених процентних ставок до загальної основи – це ефективна ставка процента. Ефективна середньорічна ставка (EAR) – це істинна економічна дохідність протягом данного часу, ефективна ставка процента.