2.3 Дәрістердің тезистері

Дәріс сабақтарының мазмұны.

№ 1. Дәріс тақырыбы: Кіріспе

Жоспары.

1. Ықтималдық ұғымның тарихи дамуы.

2. Ықтималдықтың теориясы мен математикалық статистика математикалық ғылымның негізгі бағыты.

Кіріспе.

Қазіргі кезде ғылым мен техниканың қарыптап өсу дәуірінде ықтималдықтар теориясының әдістері практиканың сан алуан салаларында кеңінен қолданылып, физика, химия, биология құбылыстарының, техника мен экономика процестерінің заңдылықтарын жан-жақты және терең түсінуге орасан зор ықпалын тигізуде. Осыған орай ықтималдықтар теориясы болашақ мамандарға негізгі математикалық білім бе,ретін пән есебінде университеттерде, педагогикалық, техникалық, экономикалық жоғары оқу орындарында және ауыл шауашылығы институттарында оқытулы таң қаларлық оқиға емес. Қазіргі кезде орта мектептерде ықтималдықтар теориясының элементтері мен статистикалық материалдар жанама түрде кездескенмен, бұл тараулар тек факультативтік курс қана бола алады.

Педагогикалық институттар үшін « Ықтималдықтар теориясы » бойынша жасалған программада (авторы академик А.Н.Колмогоров) оқыту ерекшеліктерін ескере отырып, программа ерекшеліктерін ескере отырып, мынандай үш шарт қояды: комбинаториканы пайдаланып шығаратын есептерге көбірек назар аудару және « геометриялық ықтималдықтардың » болуы; ғылым тарихына және принциптік мәселелерге ерекше көңіл бөліну; математикалық статистика элементтерінің біртіндеп енгізу.

Міне осындай талаптарға жауап беретіндей мақсатпен ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика тараулары қарастырылады.

Ықтималдықтар теориясының тарихы туралы қысқаша мағлұмат.

Ықтималдықтар теорисындағы негізгі ұғым ыцқтималдық болғандықтан, бұл ұғымның даму сатылары осы ғылымның даму сатыларын бейнелейді, ықтималдықтар ұғымы ықтималдықтар теориясының алдына проблемалар қоюға және де оларды шешуге әсер етті.

Математиканың басқа тарауларының даму кезеңдері сияқты ықтималдықтар теориясының даму жолы оның өзіне тән ішкі логикасына, ғылым салалары мен техниканың талаптарына, әлеуметтік-экономикалық қатынастардың дамуына тығыз ьайланысты. Сондықтанда, бұл даму жолы – заңды процесс.

Ықтималдықтар теориясы пайда болғанға дейінгі кезеңнің бастамалары ежелгі ғасырларға кетеді. Бұл ұзақ дәуірде, кейіе келе ықтималдықтар теориясына жатқызылатын, өте қарапайым есептер қарастырылып шығарылды. Есептер қызба құмардеп аталатын ойындардың (мысалы қарта, сүйек және теңге лақтыру, тағы басқа ойындардың) төңірегінде ғана болды.Бұл кезең Д.Кардано, Н.Тарталья және басқалардың жұмыстармен аяқталды есептеліп жүр.

Философия ғылымының даму тарихында кездейсоқ, қажеттілік және мүмкінділік әрқашан да негізгі мәселелердің қатарында болады.Мұндай проблемаларды қарастыру ықтималдық ұғымының қалыптасуына да ықпалын тигізді. Ерте заманның өзінде-ақ статистикалық материалдарды жинап, оған түрлі талдау жүргізген.

Ықтималдықтар теориясының шығу XYII ғасырдың ортасында Б.Паскальдің, П.Ферманың және Х.Гюйгенстің еңбектерімен байланыстырады. Осы кезеңде тең ықтималдықтар теориясына қатысты ықтималдық және математикалық үміт сияқты ұғымдар пайда болады, ықтималдықтарды қосу және көьейту теориялакры тағайындалады.

Я.Бернуллидің жүргізген зерттеулерді ықтималдықтар теориясының дамуындағы белді кезең болды. Ол өзінің еңбектерінде шектік теоремалар қатарына жататын алғашқы үлкен сандар заңын дәлелдеді. Осы дәуірде келесі жұмыстардың пайда болғанын айта кету керек: Муавр (1667-1754) кездейсоқ құбылыстарды қарастырғанда жиі кездесетін қалыпты заңдардың қарапайым түрлерін ашты; Лаплас (1749-1827) ықтималдықтар теориясын бір жүйеге келтіріп баяндады, ықтималдықтың қазіргі кезде классикалық деп аталатын анықтамасын береді, шектік теоремасын ары қарай кеңейтті; Гаусс (1777-1855) қалыпты заңының негіздемесін жасады, « ең кіші квадраттар әдісі » экспериментальдық берілгендерді өңдеуге қолданды; Пуассон (1781-1840) үлкен сандар заңдарын зерттей отырып, кездейсоқ шамалар бағынатын үлестірімнің жеке бір түрін атау теориясына қолданады; т.б. Ықтималдықтар теориясы дамып жетілуіне Петербургтің математикалық мектебі зор роль атқарады. Дүние жүзілік математика ғылымының дамуына әсерлі ықпал тигізген бұл мектептен көптеген атақты оқымыстылар шықты. В.Я.Буняковский (1804-1889) орыс тілінде алғашқы оқулық жазды, ал оның шәкірті, орыстың ұлы ғалымы П.Л.Чебышев (1821-1894) ықтималдықтар теориясына жаңа бағыт берді, оның зерттеу арнасын кеңейтті, жаңадан әдістер тапты.

П.Л.Чебышевтің оқушылары – А.А.Марков (1856-1922) бір-біріне тәуелді кездейсоқ шамаларды да қарастырды, сөйтіп, ықтималдық идеяларының бақа да ғылым салаларына қолдану мүмкіндігін кеңейтті; А.М.Ляпунов (1857-1918) әдейі характеристикалық функция әдісін тауып, орталық шекті теореманы өте жалпы шарттар орындалғанда дәлелдеп шықты, бұлардың бәрі осы кезге дейін өзінің құндылығын жойған жоқ.

Қазіргі кезеңдегі ықтималдықтар теориясының қарыштап жетілуіне Советтік ықтималдықтар теориясының мектебі – негізгі орын алады, дүние жүзілік ғылым дамуында ең ілгері қатарда. Совет ғалымдарының жүргізген зерттеулерінің түр сипаты ықтималдықтар теориясының ішкі қажеттіліктерімен қатар, негізінен алғанда, практика мен техниканың өскелең талаптарымен, әсіресе, физиканың және басқа ғылымдардың жедел қойлған мақсаттарымен ұштасып жатыр. Бұл бағытта совет математиктері С.Н.Бернштейн (1880-1968), Е.Е.Слуцкий (1880-1948), В.И.Романовский (1879-1954), А.Я.Хинчин (1894-1959), қазіргі кезде қажырлы еңбек атқарып жүрген СССР және республикалық Ғылым академияларының мүшелері А.Н.Колмогоров, Б.В.Гнеденко, Т.А.Сарымсақов, С.Х.Сираждинов, Ю.В.Прохров.

Қазақстанда ықтималдықтар теориясы бойынша ғылыми-педагог мамандар даярлау ісіне Қазақ және Өзбек республикалық академиктері О.А.Жәутіков және С.Х.Сираждинов тікелей араласты. 50-ші жылдарда математика статистикасында Қ.Б.Бекетаевтың, Марковтың тізбектерге қатысты Б.С.Жаңбырбаевтың ғылыми мақалалары жарық көре бастады.

Шет елдердің математиктері Н.Винер, В.Феллер, Д.Дуб, Р.Фишер, Д.Нейман және Г.Крамер ықтималдықтар теориясының дамуына үлес қосты.

Өлшем теориясы мен нақты айнымалылар функциялардың теориясы негізінде құрылған ықтималдықтар теориясының жалпы аксиоматикасын академик Андрей Николаевич Колмогоров (1903 жылы туған) 1929 жылы жасап, өзінің атақты «основные понятия теории вероятностей « монографиясында жарияланған, бұл теорияның түбірімен өзгеруіне жол ашылды, оның жаңа тарауларының пайда болуына орнықты логикалық фундамент қаланды. Кездейсоқ процестердің теориясы табиғат құбылыстарын, экономикалық теориясындағы классикалық есептердің бәрі қайтадан жаңартылып, соны түсініктермен қабылдады.

Ғылыми-техникалық революция дәуіріндегі ғылымның интеграция және дифференция құбылыстары ықтималдықтары да әсерән тигізді. Информация теориясы, жаппай қызмет көрсету теориясы, ойындар теориясы және беріктілік теориясы сияқты ғылым салаларының бөлініп шығуына, олардың дамуына әсерін тигізген ықтималдықтар теориясы мен оның бір тарауы математикалық статистика.

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері кездейсоқ шамалар және олардың сипаттамалары.

Ықтималдықтар теориясының негізгі түсініктері қатарына элементар оқиғалармен элемента оқиғалар кеңістігі жатады. Элементар оқиғалар деп санақтық (тәжірибенің) қандай да бір нәтижесінің орындалуын немесе орындалмауын айтады, яғни сынақтың қандай да бір жіктелмейті нәтижесін айтады.

Мысалы, ойын сүйегін тастағанда 1, 2, 3, 4, 5, 6 ұпайлардың бірі түсуі мүмкін. Бұл сынақ нәтижесінде бірдей мүмкіндікті алты элементар оқиғалардың бірі орындалады: А₁, А_2, А_3, А₄, А_5, А_6,.....А_k оқиғасы сынақ нәтижесінде k-шы (1, 2, 3, 4, 5, 6) ұпай түскенің білдіреді. Егер ойын сүйегін тастау барысында бізді жұп ұпай түсуі қызықтырса, онда бұлда кездейсоқ оқиға, бірақ ол элементар оқиға бола алмайды. Себебі, жұп ұпай түсуін білдіретін кездейсоқ оқиға А₂, А_4, А₆ элементар оқиғаларына жіктеледі, яғни осы элементар оқиғалардың бірінің орындалуымен анықталады. Осы сияқты, сынақ ретінде тиынді бір рет тастауды алсақ, онда екі түрлі нәтиже күтуге болады: Е – тиынның елтаңба жағымен түсуі, С – тиынның сан жағымен түсуі. Егер U жиынының әрбір элементі сынақтың қандай да бір нәтижесін білдірсе және, керісінше, осы сынақтың әрбір элементар нәтижесі U жиынының элементі болса, онда U жиынын элемнетар оқиғалар кеңістігі деп айтамыз.

Мысалы U={ А₁, А_2, А_3, А₄, А_5, А₆} ойын сүйегінің элементар оқиғалар кеңістігі. U={ Е,С } тиын тастағандағы кеңістік жиыны. Элементар оқиғалар кеңістігінің әрбір ішкі жиынын кездейсоқ оқиға деп атайды.Мысалы, ойын сүйегін тасаганда А={ А_2, А₄, А₆} ішлі жиыны “жұп ұпай түсті, деген кездейсоқ оқиғаны анықтайды.

Егер оқиғаның күні бұрын орындалатыны белгілі болса, онда мұндай оқиғаны ақиқат оқиға деп, ал оқиғаның ешбір сынақ нәтижесінде орындалатыны белгілі болса,онда оны жалған (мүмкін емес) оқиға деп атайды. Ақиқат оқиғаны U арқылы, ал жалған оқиғаны Ø арқылы белгілейді.

Егер екі кездейсоқ оқйғалар бір сынақ нәтижесінде қатар орындалуы мүнкін емес болса, онда бұларды үйлесімсіз оқиғалар деп, ал өзге жағыдайларда бұл оқиғаларды үйлесімді деп атайды. А={ А_2, А₄, А₆} және В={ А_21, А₃,} оқиғалары үйлесімсіз. Ал А={ А_2, А₄, А₆} және С={ А_1, А₂, А₃} оқиғалары үйлесімді, себебі бұл ішкі жиындарда. А₂ ортақ элемент бар. Сонымен А U оқиғасының орындалуы ұшін оның құрамына енетін элементар оқиғалардың біреуі орындалуы қажетті және жеткілікті. Егер Р және Q оқиғалары бірдей элементар оқиғалардан құралған болса бұл оқиғаларды тең (бірдей ) оқиғалар деп атап, оны былай жазады Р=Q. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда Р оқиғасы «4-тен кем ұпай түсуін », ал Q «3 –тен артық ұпай түсуін» білдірсін. Онда Р={ А_1, А₂, А₃} және Q={ А_1, А₂, А₃} болса Р=Q.

А оқиғасын орындалмайтынын білдіретінін кездеисоқ оқиғаны оның кері оқиғасы деп атап, оны арқылы белгілейді.

Мысалы, А={ А_2, А₄, А₆} кері оқиғасы ={ А_1, А₃, А₅} тақ ұпай түсуін білдіреді. Кездейсоқ оқиғаларды жиындарға қолданған Эилер-Венн диограммаларымен беинелеген қолайлы, әрбір А және В оқиғалары үшін:

А+В=АВ А+А=А А және Воқиғалары үйлесімді болган жағыдайдағы қосынды оқиғаны көрсетеді.

2.А және В оқиғасының бірден пайда болуын олардың көбейтіндісі деп атайды. АВ немесе А В деп белгілейді -қиылысу таңба.

А·В АВ-ны А және В оқиғаларының пайда болуы деп оқиды. Оқиғаны өзіне өзін көбейтсе, сол оқиғаның өзі пайда болады.

3. А оқиғасы орындалып, В оқиғасы орындалмайтын оқиғаны А оқиғасы мен В оқиғасының айырмасы деп атайды.А-B немесе А\В белгілейді \-азайту немесе шегеру таңбасы.

4. Сынау нәтижесінде пайда болған В оқиғасы екінші бір А оқиғасының да пайда болуын қамтамасыз етсе, онда В оқиғасының пайда болуынан А оқиғасы да пайда болады.

В құрамында жату.

5. А және В оқиғасы үйлесімсіз төмендегі.

6. А оқиғасының орындалмайтынын білдіретін кездейсоқ оқиғаны оның кері

Оқиғасы деп атап, арқылы белгілейді

Мысалы. А={ А_2, А₄, А₆} кері оқиға ={ А_1, А₃, А₅} А+ =U тақ ұпай түсуін білдіреді. Барлық ақиқат оқиғалар мәндес, сондықтан олар бір U әрпімен белгілеу қабылданады. Сондай – ақ барлық мүнкін емес оқиғалар да мәндес, сондықтан оларды да бір әрпімен белгілеу қабылданған. Олардың толық тобын құрайтын А, В, С,...,Z оқиғалар қосындысы ақиқат.

А+В+С+…Z=U (1)

Толған ай кезінде күннің тұтылуы ықтималдылығы нөлге тең.

Күн бұлт болып жауын шашын болу ықтималдылығы нөлмен бірдің аралығында болады.

Анық орындалатын оқиға U ал оның орындалмайтын оқиға V деп белгіленеді.

Элементар оқиғалар кеңістігі Ω арқылы белгілеп олардың жиындысы да айырмасы да және көбейтіндісі де осы системаға тиісті болады.

(Ω,S,P) ға ықтималдықтар теориясының үштігі делінеді А және В оқиғалардан кемінде бірінің орындалуы AUB арқылы А да В да орындалса А В арқылы А орындалып В орындалмаса А-В арқылы белгіленеді.А және оқиғаларға өзара қарама-қарсы оқиға делінеді.

А+ = U A =V болады.

3. Венн диаграммасы

Венн жоғарыда айтылғандарды диаграмма ретінде бейнелеуді ұсынған.

1

В

) А В 2) 3) А В

AUB

4

А

А

) А В 5) 6)

А-В А

А

7)

Бұлар оқиғалардың А және В, А+В, А В немесе А және В АВ, А В, А емес операциялары орындалғанда шыққан нәтижелердің де оқиңа болатынын көрдік. Бұл оқиғалардың нақты бір системасы S пен байланысты болады.

1. Егер S системасына А және В оқиғалары енсе, оған АВ, А+В, А-В оқиғаларыда енеді.

2. S системасына ақиқат (U) және мүнкін емес (V) оқиғалары енеді. Осы аталған ұйғарымдарды қанағаттандыратын оқиғалардың сипаттамасын оқиғалар өрісі деп атайды.

Мысалы. Сыныптан шақырлған кез келген бір оқушыны белгілі бір пәннен алған бағасы жақсы болуы А оқиғасы, орташа болуы В оқиғасы, нашар (2) болуы С оқиғасы болсын А+B, , AB, АС, АС+ , оқиғаларын сипаттап беру керек.

Шешуі: A+B оқиғасы А не В оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болатынын көрсетеді. Сондықтан А+В оқиғасы деп оқушының жақсы немесе орташа оқиғасын түсіндіреді .