1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 7. Дәріс тақырыбы: Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары.

Жоспары.

1. Кездейсоқ шамалар жайында жалпы түсінік.

2. Дискреттік кездейсоқ шамалар.

3. Кездейсоқ шамалардың ықтималдық тығыздығы.

4. Кездейсоқ шамалардың тәуелдігі.

5. 5.Математикалық үміт және оның қасиеттері.

Кездейсоқ шамалар жайында жалпы түсінік. Екі рет теңге лақтырылған болса. Сода элементар оқиғалар кеңістігі болады Осы кеңістіктің әрбір нүктесіне сәйкес 2,1,1,0 сандары сәйкестендірелік. Үлестірім кестесі бойынша көрсетсек:

	ГГ	ГЦ	ЦГ	ЦЦ
	2	1	1	0

А-а Элементар оқиғалар кеңістігіне анықталған кез-келген сандық функциясын кездейсоқ шама деп атайды.

Жай қарағанда математикалық теориядан алшақ жатқан кездейсоқ шамаларды бүкіл математиканың тұтас элементі және де оның бір бөлігі етіп дәлелденген аты шулы Андрей Николаевич Колмогоров болды. 1974 жылы «Наука» баспасында «Основные понятия теории вероятностей» деген атпен жарық көрді. Дегенмен де, кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндеріе орай оларды бірқатар шамада зерттеп білуге болады.

Мысалы: Ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны-кездейсоқ шама. Оны арқылы белгілесек, қабылдайтын мәндері 1,2,3,4,5,6 болады.

Кездейсоқ шаманың мәндерін алдын ала айтуға болмайды.

Кездейсоқ шама дегеніміз- сандық мән қабылдайтын, бірақ қандай тиянақты мәнді қабылдайтынын алдын ала айтуға болмайтын шамалар.

Кездейсоқ шамаларды былай сияқты грек алфавитінің әріптері арқылы белгілейміз. Кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндеріне қарап, оларды екі топқа бөлеміз: дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.

Дискретті кездейсоқ шама.

Кездейсоқ шамалар дегеніміз не?

Кездейсоқ деп отырған шаманың мәндерін алдын – ал айтуға болмайды. Сонымен кездейсоқ шама дегеніміз сандық мән қабылдайтын, бірақ қандай тиянақты мәнді қабылдайтыны алдын ала айтуға бомайды. ξ,η,... грек алфавитінің әріптері арқылы белгіленеді. Кездейсоқ шамаларды қабылдайтын мәндеріне қарап, оларды екі топқа бөлуге болады: дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шамалар мен кездейсоқ оқиғаларды бір-бірімен ажырата білген жөн. Анықтамадан байқап отырғанымыздай кездейсоқ шама міндетті түрде пайда болады, тек оның қандай мән қабылдайтыны алдын ала белгісіз. Ал кездейсоқ оқиға пайда болуының өзі кездейсоқ жай.

ξ кездейсоқ шаманың қабылдайтың мәндері арқылы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай ξ кездейсоқ шамасын дискретті деп атайды. дискретті кездейсоқ шаманы анықтау үшін әдетте таблица құрады. Екі жол болады. Оның бірінші жолында кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері, ал екінші жолында сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары жазылады.

Мәндер ξ	Х1	Х2	...	хn
Ықтималдықтар. Р.	P1	P2		pn

Бұлай құрылған табалицаны ξ кездейсоқ шаманың үлестірім таблицасы деп аталады. Үлестірім таблицасының екі қасиеті бар: 1) екінші жолда тұрған сандар теріс емес. Р_i ≥0

2­) екінші жолда тұрған сандардың қосындысы бірге тең.

(1)

Мысалы 1. Екі ойын сүйегін лақтырғанда пайда болатын ұпайдың қосындысын үлестірім таблицасын табу керек.

Шешуі. Екі ойын сүйегі ұпай дың қосындысы ξ арқылы белгілесек ξ –дің қабылдайтын мәндері.

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p

Анықтама. Егер ξ кездейсоқ шама 0, 1,...n мәндерін қабылдайтын болса, онда ықтималдықы Р(ξ = r) k=0, 1, 2,… p>0. p+q=1. k-дан жасалған теру болса, онда Бернулли заңы бойынша үлескен деп аталады.

Егер ξ кездейсоқ шама 0, 1,...n мәндерін қабылдаса және бұл мәнді қабылдау ықтималдығы

Р(ξ =n) = λ>0 λ=nр аз да көп те р-ғы жуықтау есептеуі.

Lim p(m) n→ шекке көшсек, ол шек дәрежесіне тең болады. Пуассон заңы бойынша үлескен деп аталады.

Геометриялық үлестірім

Анықтама. Егер ξ кездейсоқ шама 0, 1, 2,…n мәндерін қабылдаса бұл мәндер қабылдау ықтималдығы Р(ξ =n) =qⁿp мұндағы р>0 р+q=1 болса, кездейсоқ шамамыз геометриялық үлестірім заңына бағынады. Мысалы: Жәшікте бес ақ және сегіз қара шар бар. Жәшіктен қалай болса солай алты шар алынған. Сол алынған шар ішінде төртеуі ақ болу ықтималдығы қандай? Шешуі: Жәшікте барлығы он үш шар бар. Демек барлық жағдайлардың саны тәжірбие бойынша он үш шардың ішінен алты шар алу. Қолайлы жағдай болу үшін ақ шардың ішінен төртеуін қара шардың ішінен екеуін аламыз.

Қолайлы жағдайларың саны ізделінген ықтималдығымыз

Анықтама бойынша, үлестірім таблицасы берілен кездейсоқ шаманы толық анықталған деп атайды.

Кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы

А-а кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы деп f( ) lim теңдігімен анықталатын f( ) функциясын айтады. Үлестірім тығыздықтың мынандай ықтималдық түсініктемелері бар. -ке қатысты жоғарғы ретті ақырсыз аз шамаға дейінгі дәлдікпен f( ) көбейтіндісі кездейсоқ шамасының мәндері пен -тің арасында жату ықтималдығы береді.

Егер үлестірім тығыздығы У f( ) қисығы түрінде көрсетсек, оның f( ) көбейтіндісі f( ) пен кесінділерінде құрылған тік төртбұрыштың ауданы болады.

А-а Егер кездейсоқ шамасы ( ) аралығынан мән қабылдаса және оның үлестірім тығыздығы f егер х

, егер

0, егер

теңдігі арқылы орындалса, оның кездейсоқ шамасын бірқалыпты үлестірім заңына бағынады.

А-а Егер кездейсоқ шамасы ( ) аралығынан мән қабылдаса және оның үлестірім тығыздығы мұндағы нақты параметрлер, теңдігімен анықталса, оның кездейсоқ шамасын қалыпты заң бойынша үлестірім деп атайды. Параметрлері және болатын қалыпты заңды арқылы белгілейміз.

А-а Егер кездейсоқ шамасы ( ) интервалынан мән қабылдаса және үлестірім тығыздығы f( ) теңдігімен анықталса, онда кездейсоқ шамасы Коши заңы бойынша үлестірім деп атайды.

Математикалық үміт және оның қасиеттері.

Кездейсоқ шаманы анықтау мақсатында сандық сипаттамалар беріледі. Солардың бірі – Математикалық үміт

Мысалы, x шамасы n рет өлшенген болсын делік; m₁ жағдайда оның шамасы (n рет өлшенген болсын делік: m₁ жағдайы) x₁-ге, m₂жағдайда – x₂-ге, тағы сол сияқты, ақырында m_k жағдайда x_k-ға тең болсын. Практикада, әдетте, өлшенген шама үшін оның орта мәнін қабылдайды, яғни

шамасын алады, сөйтіп бұл шама – қабылданған мәндердің оларға сәйкес жиіліктеріне көбейтінділерінің қосындысы. Міне, осы орта мәнге ұқсас кездейсоқ шаманың математикалық үміті анықталады.

Егер дискретті кездейсоқ шамасы x_1,x_2,...,x_n мәндерін P_1,P_2,…,P_n ықтималдықтарын қабылдаса, онда кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп

қосындысын айтады.

арқылы математикалық үмітті белгіледік. Егер дискретті кездейсоқ шамасы x_1,x_2,...,x_n мәндерін сәйкес P_1,P_2,...,P_n ықтималдықтарымен қабылдаса және _nқатары абсолютті жинақты болса, онда осы қатардың қосындысын кездейсоқ шамасының математикалық үміті деп аталады.

Егер аралығынан мән қабылдайтын кездейсоқ шамасының ықтималдық үлестірім тығыздығы p(x) болса, және меншіксіз интегралы абсолютті тиянақты болса, онда кездейсоқ шамасының математикалық үміті деп осы интегралдың мәнін айтады.

Математикалық үміттің негізгі қасиеттері:

1⁰. Тұрақтының математикалық үміті өзіне тең яғни M(C)=C мұндағыС=const.

Д/у. Ықтималдықтың үлестірім тығыздығын P(x) арқылы белгілелік. Сонда кездейсоқ шама тек қана С мәніне қабылдайтын болғандықтан.

дәлелдеу керегі де осы еді.

2⁰. Тұрақты көбейткішті математикалықүміт таңбасының алдына шығаруға болады, яғни С=const болса, онда .

Д/у.Егер кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірім тығыздығы p(x) болса, онда бұл С көбейтіндісінің де тығыздығы болады. Сонда

демек қасиет дәлелденді.

3⁰. Екі кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына тең, яғни

4⁰. Екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болған жағдайда олардың көбейтіндісінің математикалық үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің қосындысына тең, яғни мұны формула түрінде берсек: егер мен кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда

Д/у.

Мысал 1. Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үмітін табу.

. Анықтама негізінде математикалық үмітті тапсақ

Сонымен (a,b) аралығында бірқалыпты орналасқан кездейсоқ шаманың математикалық үміті осы аралықтың дәл ортасы -ге тең.