Негізгі мағына бас жиынтық ұғымы.

Бас жиынтық деп белгілі қасиеттермен бірігетін барлық қарастырып отырған объектілер жиынын айтамыз. Және объект осы жинның элементі болады. «Объектілер жиыны» дегеніміз «көп объектілер» деген ұғымды білдіреді.

Айталық n рет санау жүргізу арқылы X кездейсоқ шамасының мәндері табылсын. Бақыланып X отырған шамасының қабылдайтын мәндері жай статистикалық қатар деп аталады.

Шағын мөлшердегі топ таңдама немесе таңдамалы жиынтық деп аталады.

Таңдама дегеніміз бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер жиынтығы. Мысалы: заводта 15000 электр лампалары дайындалсын дейік. Осы лампалардың қанша проценті жарамды болатынын анықтау үшін, барлық лампаны түгелдей тексеріпшығу мүмкін емес. Сондықтан лампалардың тәуекелге бір шағын тобын таңдап аламыз да, мысалы үшін 4000 данасын, осы топты зерттейміз. Осыған қарап бүкіл заводтың белгілі уақытта шығарған өнімдер сапасына баға беріледі.

Ескеретін жағдай, бас жиынтықтағы объектілер саны шексіз көп болуы мүмкін. Әдетте, объектілер саны арқылы сан деп қарастырылады.

Таңдама құру әдістерінің ішінде төмендегі екі әдісті атап өтуге болады.

1. Бас жиынтықтың ұсақ бөліктерге бөлінуін талап етпейтін таңдау. Бұған жататындар: а) жәй кездейсоқ қайталанбайтын таңдау;

б) жәй кездейсоқ қайталанбалы таңдау.

2. Бас жиынтықтын бөліктерге бөлінуін талап ететін таңдау. Бұған жататын:

а) типтік таңлау;

б) механикалық таңдау;

в)сериялық таңдау .

Таңдамалар. Үлестірілудің эмпирикалық функциясы. Колмогоровтың келісім критерийі.

Экспериментатор бір шаманы өлшей отырып х₁, х₂, ..., х_n мәндерін алған болсын делік. Мысалы белгілі прибор арқылы жер мен күннің арақашықтығын табу. Өлшеу нәтижелеріне шексіз көп факторлар әсер ететін болғандықтан бақыланған нәтижелер түрлі-түрлі кездейсоқ мәндер қабылдайды. Біз мынандай алғы шарт қоямыз. п рет тәжірибе жүргізілгенде пайда болған нәтижелер х₁,х₂,...,х_n тәуелсіз кездейсоқ шамалар және олардың бір ғана Ғ (х) үлестірім функциясы бар. Бұл қойылған шарттарды былай да айтуға (1) сандар кездейсоқ Ғ(х) үлестірімінен таңдама құрады. (1) сандар кездейсоқ шамалардың тізбегі. Бұл кездейсоқ шамаларды х₁,х₂,...,х_n арқылы белгілеу тарихи қалыптасқан. Математикалық статистикалық кітаптарында х₁,х₂,...,х_n арқылы кездейсоқ емес айнымалы шамаларды да белгілейді. Мұны текстке қарай отырып ажырата білу қажет.

Сонымен “(1) таңдаманы қарастырамыз” деп айтқанда бақылау нәтижелері үшін ықтималдық модель құрылды деп түсінеміз.

(1) таңдамадағы п санын таңдаманың көлемі деп атайды. Кез келген нақты х санынан кіші болатын (1) тандамадағы х –лердің санын арқылы белгілейік. Сонымен үлестірімнің эмпирикалық функциясы Ғ (х) мына тендікпен анықталады: (2).

Үлестірімнің эмпирикалық функциясы монотонды сол жағынан үзіліссіз, үзіліс нүктелері аргументтің таңдама мүшелеріне тең мәндерінде болады. Бұл функцияның өзі кездейсоқ шама болады, (2) теңдіктің оң жағы – кездейсоқ шама. (1) теңдік таңдамаға сай кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы Ғ(х) арқылы белгілелік. Мұны үлестірімнің теориялық функциясы деп атайды.

Үлестірімнің эмпериялық және теориялық функциялардың арасындағы ауытқу қандай? Жалпы алғанда, математикада екі шаманың арасындағы ауытқу ұғымы түрлі әдістермен беріледі: олардың айырымы, олардың айырымының квадраты және т.б.

Академик А.Н.Колмогоров берілген үзіліссіз теориялық Ғ(х) функциясы мен (2) теңдік арқылы анықталатын эмпирикалық функциясының алшақтығына өлшем есебінде олардың арасындағы айырманың максималь мәнін қарастырған: сөйтіп, таңдама көлемі шексіздікке ұмтылғанда Д<Z теңсіздігінің ықтималдығы

0 егер Z 0. , егер Z > 0.

Шектік үлестірім функциясында ұмтылатындығын дәлелдеген. (3) теңдікпен анықталатын теореманы Колмогоровтың келісім критерийі днп атайды.

Бұл критерийдің қолдану схемасы мынадай:

1.Жүргізілген п тәжірибенің нәтижелері бойынша үлестірімнің эмпирикалық функциясын құрамыз.

2.Сол графикте болжамды үлестірім Ғ(х) функциясына саламыз.

3.Ординаталардың айырымы модульдердің максималь шамасын анықтаймыз.

4. шамасын есептейміз.

5. >0 мейлінше аз сан болсын. тендігі орындалатындай етіп, таблица бойынша санын табамыз.Сонда бізге керекті критерий мынау: бір рет тәжірибе жүргізгенде шамасы белгілі бір мәнді қабылдасын. Егер бола қалса, онда бұл бір рет жүргізілген тәжірибеде ықтималдықпен оқиғаның пайда болғанын көрсетеді. Колмогоровтың келісім критерийін пайдаланып, үлестірімнің белгісіз функциясы жататын аралықты үлкен ықтималдықпен табуға болады.

Атап айтқанда, егер саны теңдеуін қанағаттандыратындай етіп сайлап алынса, онда барлық х-тер үшін 1- -ға жуық ықтималдықпен

Таңдамалық сипаттамалар.

а) Эмпирикалық функция п- тәжірибе саны. п_х Х тан кіші болатын вараианталардың жиіліктерінің қосындысы.

б) Таңдамалық орташа:

г) Таңдамалық дисперсия:

д) Таңдамалық орташа квадраттық ауытқу:

е) к-шы реті бастапқы эмпирикалық момент:

ж) к-шы ретті орташа эмпирикалық момент:

з) Таңдамалық асимметрия:

и) Таңдамалық эксцесс:

Ескерту: Егер х_і варианталары үлкен сандар болса, жоғарыдағы формулаларын тікелей пайдаланбай мына формулаларды пайдаланған ыңғайлы болады.

«С – жалған ноль»

Мысал 1: Таңдама мына вариациялық түрінде берілген:

хі	1	4	5
пі	4	4	2

Барлық сиапттамаларын табыңыз.
х_і варианталары кішкене сандар болғандықтан фурмулаларды тікелей қолданамыз.

Таңдама көлемі: п =10, х≤ 1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

₈₎