1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

8. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей.-М., наука, 1989.320 б.

9. Климов Г.П. Теории веории вероятностей и математикческая статистика.- М., МГУ.,1983.328 с.

10. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.,Наука.1986 г.

11. Виленкин Н.Я. Потапов в.Г. Задачни- практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. – М., Просвещение, 1989 г.112 с.

12. Леман Э. Проверка статистических гипотез. – М., Наука. 1998г. 408 с.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 8. Дәріс тақырыбы: Дисперсия.

Жоспары.

1. Дисперсия және оның қасиеттері.

2. Чебышев теңсіздігі.

3. Сызықтық корреляция. Регрессия теңдеулері.

4. Кездейсоқ шаманың маменттері.

5. Характеристикалық функция.

6. Кездейсоқ шамаларды үлестірім компьютерде модельдеу.

Дисперсия және оның қасиеттері

Кездейсоқ шаманың математикалық үміті сол шаманың, жалпы алғанда, негізгі бір сипаттамасы екендігін көрдік. Енді өзінен-өзі келіп, кездейсоқ шаманың мәні есебінде математикалық үмітті қабылдағанда жіберетін қатені бағалау мәселесі шығады. Физикада математикалық үміттің анологисы-дененің ауырлық центрінің координаталары, ал ауырлық центрден ауытқу мәселелері инерция моменттері арқылы шешіледі. Кездейсоқ шаманың мәндері оның математикалық үмітінен ауытқитындығы түсінікті. Міне, осы ауытқуды бағалау үшін дисперция ұғымы енгізіледі кездейсоқ шамасының дисперциясын D ( ) таңбасымен белгілелік.

Анықтама кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының квадратының математтикалық үмітін айтады.

Сонымен, кездейсоқ шамасының дисперциясы мына формула бойынша анықталады.

D ( )= M( )—M( )² (24)

Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып, (24) формуланы түрлендірелік: D( )=M ( ²) – 2  M (  ) +M² ( )) =M (  ²) --

Сонымен, дисперцияны анықтайтын

D( )=M ( ²) – M² ( ) ( 25)

формуласы келіп шықты. Бұл формуланы былай оқуға болады:

кездейсоқ шаманың дисперсиясы сол кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үміті мен сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің квадратының айырымына тең болады.

М ы с а л д а р

1. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу.

Мұндай кездейсоқ шаманың математикалық үміті М( )=

болатындығын ілгері паргарафта көрдік. Енді  ² –тың математикалық үмітін табалық:

 nⁿ

М( ²) = n^{2 n} e^-=e^- =²+

n= n! n=1(n-1)!

(25) формуланы қолдансақ, D (  )= ²+  -- ²=  , яғни, D ( )= 

Сөйтіп, Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы  -ға тең болады.

2. Қалыпты заң бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын

табу.

Мұндай кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы

функциясымен беріледі. Оның математикалық үміті M (  )= a , болатындығын бұрын дәлелдедік. Сондықтан (24) формула бойынша

 1  -(x-a)2

D=( )=(x-a)²((x)dx=  = (x-a)²e 

- 2  2² dx

Соңғы интегралды есептеу мақсатында ауыстыруын енгізсек,

Енді бөліктеп интегралдасақ,

Сонымен D( )=²

Қалыпты үлестірімі бар кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясын есептей отырып, оның анықтамасына қатынасатын параметрлердің ықтималдық мәнін аштық:

бұл анықтамадағы а параметрі математикалық үмітті, ал параметрі диперсияны көрсетеді. Бұл дәлелденген тұжырымның практикалық мәні өте зор.

Енді дисперсияның қасиеттерін дәлелдейік.

1⁰ Тұрақтының дисперсиясы нөлге тең. Расында, егер С=const болса, онда (25) формула бойынша D(C)=M(C²)—M²(C) =C²—C²=0

2⁰ Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады.

Бұл қасиетті дәлелдеу үшін де (25) формуланы пайдаланамыз:

D( )=M (C)²M²( C )=C²(M(²)M²( ) ) =CD( )

3⁰. Егер мен  кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда

D( + )= M²( ) + D ( )

Дәлелдеу (25) формулаға математикалық үміттің қасиеттерін қолданып, кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін ескерсек,

D (  + ) =M (  + )² М ²(+) =M(  ²+ 2  +²) (M( ²) +2M( ) M() + M( ²)+D()

М ы с а л д а р

1. Бернулли заңы бойынша үлестірімді кездейсоқ шаманың дисперсиясын табу.

Бернулли заңы былай анықталатындығы белгілі: кездейсоқ шамасы 0,1,2, ... n мәндерін Р(  =k) =C^К_np^kq^n-k ықтималығымен қабылдайды. 8- параграфта шамасын  =  ₁ +  ₂ +…+ _n қосындысы түрінде жазуға болатындығы дәлелдегенді, мұндағы

0, егер А оқиғасы к-шы тәжірибеде пайда болмаса

k = 1, егер А оқиғасы к-шы тәжірибеде пайда болса, (25) формула арқылы  -ның дисперсиясын есептелік: D( _к)= М(²_к) – М² (_к)р-р²р(1 – р)рq. Енді дисперцияларды қосу қасиетін қолдансақ, D()D(₁)+D(₂)+...+D(_n)

Сонымен, Бернулли заңына қатысты және практикалық маңызы зор сөйлем дәлелденді: Бернулли заңы бойынша үлестірілген  кездейсоқ шамасы үшін М()np, D() npq, мұндағы p – A оқиғасының әрбір тәжірибедегі пайда болу ықтималдығы, n – жүргізілген тәжірибелер саны.

2.  мен тәуелсіз  кездейсоқ шмалары мынадай үлестірім таблицалары арқылы берілсін.

	-1	1
р	0,2	0,8

	1	2	3
р	0,1	0,3	0,6

+ қосындысы үшін математикалық үміт пен дисперсиянгың қасиеттерінің орындалатныдығын дәлелдеу керек.

Шамалардың математикалық үміттерін табалық: М() =0,2+0,8= 0,6

M () =0,1+0,601,8=2,5. Дисперсияларды есептеу үшін шамалардың квадраттарының үміттерін табу керек: М()=0,2+0,8=1 M(²)= 0,1+1,2+5,4=6.7.

Енді дисперсияларды тапсақ: D()=1(0,6)²=0,64, D()=6,7(2,5)²=0,45

+ қосындысының үлестірім таблицасын жасап шығу үшін олардың тәуелсіздігін пайдаланамыз, атап айтқанда, Р(+=x₁+x₂) =P(=x₁)* P(=x₂) теңдігі орындалады. Демек, жоғарыдағы таблицалардың бірінші жолында тұрған сандарды бір-біріне қосқанда екінші жолда тұрған ықтималдықтар өзара көбейтіледі. Міне, осыларды орындасақ

+	0	1	2	2	3	4
Р	0,02	0,06	0,12	0,08	0,24	0,48

Бұл таблицаның бірінші жолында өзара тең сандар бар. Мұндай жағдайларда, әдетте, таблицаны әрі қарай түрлендіреді:

сол тең сандардың біреуі ғана жазылып, сәйкес ықтималдықтар қосылады. Сонда

+	0	1	2	3	4
р	0,02	0,06	0,20	0,24	0,48

Соңғы таблица бойынша М(+) мен D(+)-ны есептелік. М (+)=0,06+0,40+0,72+1,92=3,1. M (+)²=0,06+0,80+2,16+7,68=10,7. D(+)= 10,7(3,1)²=1,09.

Ақырында, бұл нәтижелерді М() +М()=0,6+2,5=3,1 және D()+D() =0,64+0,45=1,09 қосындыларымен салыстырсақ,

М(+)=M()+M(), D(+)=D()

теңдіктері шығады,демек, есеп толық шығарылды.