1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 9. Дәріс тақырыбы: Шектік теоремалар.

Жоспары.

1. Үлкен сандар заңдары.

2. Орталық шектік теоремалары.

ебышевтың 1867 жылғы дәлелденген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай кеңейтуге жол ашты.

Чебышев теоремасы. Егер тәуелсіз , кездейсоқ шамалардың тұрақты бір С санымен шектелген дисперсиялары бар болса, онда кез келген саны үшін

1

Дәлелдеу кездейсоқ шамалардың математикалық үміттерін және дисперсияларын белгілеп алалық: Мұндай кездейсоқ шаманы қарастыралық: Кездейсоқ шамалар тәуелсіз болғандықтан,

кездейсоқ шамасын Чебышев теңсіздігін қолдансақ немесе (3)

Теорема шарты бойынша демек (2) (1) және (2) теңсіздіктерден Енді қандай болса да санын теңсіздігі орындалатындай етіп таңдап аламызб мұндағы кез-келген сан.

Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы бойынша 1- шектік қатынасын дәлелделгенмен бірдей.

Ықтималдықтар теориясының шектік теоремалары

Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан тым аз айырмашылықта болады.

Үлкен сандар заңы – деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасын қатысты тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз.

Өте көп санды кездейсоқ шамаларды қосқанда, қосындының үлестірім функциясы қалыпты үлестірім заңына ұмтылуы туралы тұжырымдалған теоремаларды орталық шектік теоремалар деп атайды. Шектік теоремалар кездейсоқ құбылыстар төңірегінде ғылыми болжам жасаумен қабат оларға дәлдік баға береді.

Үлкен сандар заңдары

П.Л.Чебышевтің 1867 жылғы дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай кеңейтуге жол ашады.

Чебышев теоремасы . Егер тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тұрақты с санымен шектелген дисперсия лары бар болса, онда кез келген ε>0 саны үшін

Р

Чебышев теоремасындағы шарттар орындалғанда кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы мен олардың математикалық үміттірінің арифметикалық ортасының арасындағы айырмашылық кездейсоқ шамалар саны мейлінше көп болғанда «тым аз» болады екен.

Бернулли теоремасы. Егер р әрбір тәжірибе жүргізгендегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және υ кездейсоқ шамасы А оқиғасының n рет тәжірибе жүргізгендегі пайда болу саны болса, онда кез келген ε>0 саны үшін

Р

кездейсоқ шамалардың математикалық үміттерін және дисперсияларын белгіліп аламыз. М =a _k7 D =

1, егер А оқиғасы K-шы тәжірибеде пайда болса,

0, егер а оқиғасы К-шы тәжірибеде болмаса. Көру қиын емес. кездейсоқ шамасының математикалық үміті мен дисперсиясын табайық:

М =1·р+0·q=p D = М - М² =p-p²=p(1-p)=pq

Бернулли теоремасы тәжірибе жүргізу шарты тұрақты болғанда жиіліктің орнықты болуын көрсетеді. Мұндай орнықтылыққа ұқсас жағдай тәжірибе шарты бір тәжірибеден екінші тәжірибеге көшкенде өзгеріске ұшыраса да, орындалады. Мына тәжірибемен дәлелдейік.

Пуассон теоремасы. Егер бір біріне тәуелсіз n рет тәжірибе жүргізілсе, K-шы тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы Р_к-ға тең болса, онда А оқиғасының пайда болу жиілігі және кез келген ε>0 үшін

Р

Жоғарыда айтылған теоремалардың бәрінде кездейсоқ шамалар тәуелсіз болады. Орыстың аса көрнекті математигі А.А.Марков үлкен сандар заңын тәуелді кездейсоқ шамалар үшін де дәлелдеді.

Марков теоремасы. Кез келген кездейсоқ шамалары үшін

шарты орындалса, онда ε>0 үшін

Р