1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

6. Ақпараттар теориясының негізгі ұғымдары.

№ 4. Дәріс тақырыбы: Ықтималдықтар кеңістігі.

Жоспары.

1. Шартты ықтималдық.

2. Толық ықтималдықтар формуласы.

3. Байес формуласы.

4. Ақпараттар теориясының негізгі ұғымдары.

Шартты ықтималдық Шартты ықтималдық ұғымы ерекшеленген ұғым, яғни ештеңеден шықпайды. Сондықтан, оны автор бір есеп арқылы, мүмкін сәтсізден болуы, енгізіп көреді. Есеп – ой түткі ықтималдық түзуінен мынадай Р саны табу керек, онда Р (Ā) кесіндісі осы нүкте арқылы Р қатынасына бөлінсін

Р (Ā) + Р (АВ) –ны түзуде белгілейік. қатнасынан Р – ны табамыз.

Р [1- Р(Ā)] = Р(АВ) Р = Р(А) > 0 ықтималдығымен А

Оқиғасы пайда болсын.

Анықтама. А оқиғасы орындалғанда

- ға (*) тең В оқиғасының ықтималдығы шартты ықтималдық деп атайды.

Мысал 1. Екі ойын сүйегін лақтырғанда пайда болған ұпайдың қосындысы а) жұп, ә) тақ болу шарттары орындалғанда 7-ден артпайтын ықтималдығын табыңдар.

а) Алдынғы бетте А және В оқиғаларының кескіні келтірілген, олардың ықтималдықтары белгілі, онда (*) формула бойынша шартты ықтималдықты табамыз

Осы есепте (**) формула бойынша да шешеміз.

Р(А)

Толық кеңістік үшін А оқиғасы алынады және А оқиғасы негізінде АВ – ның ықтималдығы табылады. U = A = {xy : х+у = жұп }=

Мұнда қара цифрмен х + у ≤ 7 шартын қанағаттандыратындары көрсетілген, сонда

Р

ә) А және АВ оқиғаларын құрамыз.

А = {ху : х+у = тақ } =

АВ = {ху : әрі (х+у) = тақ, әрі ≤ 7} =

Сонда (*) формула бойынша шартты ықтималдық

Р

2. Отбасында 2 бала бар делік. Екі баланың да ұл болу ықтималдығын былай болжаудан табалық: а) үлкені ұл бала

ә)ең болмағанда біреуі ұл бала

U ={ҰҰ, ҰҚ, ҚҰ, ҚҚ}

Толық ықтималдық формуласы Анықтама. Н₁, Н₂,………Н_п кездейсоқ оқиғаларының толық тобы деп мына екі шарт орындалуын айтады.

1. бұлардың бірлестігі оқыйғалар кеңістігі, яғни Н_{1 =Е}

2. бұларды қос-қостан алғанда бірікпейтін , яғни болу керек. Толық ықтималдық формуласын мына теорема түрінде дәлелдеген.Осы дәлелдеуді іске асырған А.Н. Колмогоров.

Теорема 1: Н₁, Н₂,………Н_п –оқиғалардың толық тобы және Р(н_i) 0 1 болсын. Сонда кез-келген А F оқыйғасы үшін Р(А)= толық ықтимылдықтың формуласы деп аталады.

Дәлелдеу: Н₁, Н₂,………Н_п –оқиғалары толық топ құрагандықтан анықтаманың 1) шартындағы теңдеу орындалады Н_{1 =Е} екі жағын А-ға көбейтсек =ЕА шығады.

А= осыған ықтимылдықтардың қосу теоремасына көшсек Р(А)=

Р(Н_i) 0 шарты бойынша А(Н_i) көбейтіндісі ықтимылдықтарды көбейту теоремасын қолдануға болады. Р (А)= Р(Н_iА).

Мысалы: Үш атқыштың нысанаға тигізу ықтималдықтары сәйкес-0,6; 0,7; 0,8.

Алдымен бір атқыш таңдап алынған. Ол оқ атқанда нысанаға оқтың тию ықтималдығы қандай?

Шешуі: А арқылы нысанаға бір оқтың тию оқиғасын белгілелік. Ал, деп -ші атқыштың таңдап алуды айталық. Атқыштың біреуін таңдап алу «тең мүмкіндік»болғандықтан Формула бойынша

. Шартты ықтималдықтар есептің шартында берілген:

Байес формуласы

Т-а оқиғалары толық топ құратын болсын және әрбір үшін шарты орындалса. болатындай кез-келген кездейсоқ оқиғасы үшін теңдігі орындалады.

Д/у Шартты ықтималдықтың анықтамасы бойынша

осы теңдіктің оң жағындағы тұрған бөлшектің алдымен ықтималдықтары көбейту, ал бөліміне толық ықтималдықтың формуласын қолданса, онда мына қатынас шығады:

біз дәлелдеу керегі осы еді.