1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 12. Дәріс тақырыбы: Статистикалық болжам.

Жоспары.

1. Статистикалық болжам тексеру.

2. Корреляция коэффициенттін бағалау.

3. Регрессия сызықтары. Корреляциялық талдау.

4. Ең көп шындыққа сыятын әдіс.Ең кіші квадраттар әдісі.

Статистикалық болжамдарды тексеру.

Статистикалық болжам дегеніміз, кездейсоқ шаманың үлестірімінің түрі (биномдық, қалыпты, көрсеткіштік, Пуассон т.с.с) немесе үлестірімнің параметрлері туралы алдын ала жасалатын болжамдары деп түсіну крек. Статистикалық болжам таңдаманың көмегімен тексеріледі. Алдымен нолдік болжам Н0 Ө Ө0, онда Н1: Ө Ө .

Статистикалық болжамды тексеру барысында 2 қатажіберуіміз мүмкін. Бірінші текті қате-Н0 болжамы жоққа шығарылып Н1 болжамы қабылданады, бірақ негізінде Н0 дұрыс.

Екінші текті қате-Н0 болжамын қабылдаймыз, бірақ негізінде Н1 болжамы дұрыс.

Бірінші текті қате жіберу ықтималдығын маңыздылық деңгейі де, әріпімен белгілейміз. Мысалы, «Тұрғын үй құрлысын тоқтатпай жалғастыра беру керек» деген дұрыс шешім қабылданбай тасталса, онда бұның салдары материалдық шығынға әкеп соғуы мүмкін. «Ал егер құрлыстың кейбір қауіптілігіне қарамай құрлысты, тоқтатпау керек » деген дұрыс емес шешім қабылданса, онда оның салдарынан адамдар шығынына ұшырауы мүмкін. Сонымен дұрыс шешімде екі жағдайда қабылдануы мүмкін:

1. Болжам қабылданады, әрі сол шын мәнінде дұрыс болжам.

2. Болжам қайтарылып тасталады, әрі ол шын мәнінде дұрыс шешім емес.

Сонымен дұрыс шешім қайтарылып тасталынады да, өтірік болжам қабылданады.

Болжамдарды тексерудің бірнеше түрі бар:

1. Пирсонның келсімдік х-квадрат критерийі Н0 «Бас жинақ қалыпты үлестіріммен берілген» деген болжамды тексеру үшін Пирсонның келсімді Х2 өлшемі қолданылады.

Тексеру үшін ағылшын математигі жиліктің алшақтығының өмшем ретінде мына кездейсоқ шаманы алады.

1.

Бұл шама-еркіндік дәрежесі болатын, хи-квадрат үлестірімімен таралған кездейсоқ шама. Мұндағы таңдамадағы топтар саны, -үлестірім параметрлерінің саны.

2. .

3. Берілген маңыздылық деңгейінде, хи квадрат үлестірімінің сын нүктелері арқылы критерийдің сандық мәнін анықтаймыз.

4. Берілген нөлдік болжам қабылданбайды.

№1. Айталық бас жинақтан таңдама бөлініп алынсын:

Теориялық жиліктер-11,12,13,26,24,12.

Эмперикалық жиіліктер-7,8,20,38,18,9.

Берілген маңыздылық деңгейінде бас жинақтың қалыпты үлестірілгендігі туралы болжамды тексерелік.

Шешуі: критерийдің бақыланатын мәнін анықтау үшін төмендегі кестені құрамыз.

				( )
1	7	11	-4	16	1,45
2	8	12	-4	16	1,33
3	20	13	7	49	3,77
4	38	26	12	144	5,54
5	18	24	-6	36	1,5
6	9	12	-3	9	0,75

Сонымен , критерийдің еркіндік дәрежесі себебі

Ал кестеден -нөлдік болжам қабылданбайды, яғни бас жинақ қалыпты үлестіріледі деген гипотезаны қайтарып тастаған жөн.

Корреляциялық талдаудың негізгі қағидалары

Байланыс параметрлерінің маңыздылығын тексеру

Корреляциялық талдаудың негізгі есебі – нүктелік және интервалдық бағалаулар арқылы кездейсоқ айнымалар арасындағы байланыты айқындау.

Бұл тәсіл зерттеуші қолындағы таңдамалық қосақтар екі өлшемді қалыпты үлестірілген бас жинағынан кездейсоқ теріліп алынған жағдайда моднльдік регрессия теңдеулерінің былай жазылатыны белгілі.

(13)

(14)

Мұнда - қалыпты үлестірім параметрлері, р – бас коррелия коэффициенті. (13), (14) – ден көретініміз, р – екі айнымалы арасында тік сызықты тәуелділік болғана жағдайда ғана, байланыс тығыздығының көрсеткіші болады.

Корреляция коэффициентінің маңыздылығын тексеру

Практикалық зерттеулерде, көбіне р белгісіз болғандықтан, корреляциялық байланыстың тығыздығы арқылы пайдаланамыз, яғни - тың маңыздылығын тексереміз. Ол үшін х және y айнымаларының арасында сызықты корреляциялық байланыс жоқ деген нөлдік болжам тексеріледі, яғни

Статистикалық критерий: (15)

Бұл – (n-2)еркіндік дережелері бар Стьюденттің t – үлестірімімен берілген кездейсоқ шама.

Егер маңыздылық деңгейінде (a;n-2)болса, онда H₀ жоққа шығаралады, яғни таңдамалық коэффициенті маңызды, нөлден әлдеқайда өзгеше деген тұжырымға келеміз.

Егер маңызды болса, онда таңдамалық регрессия коэффициенттері үшін сенімділігін мынадай сенімділік интервалдарын анықтаймыз.

(16)

(17)

(18)

Ескерту: (18) формуласында шамасы үшін сенімділік интервалы көрсетілген, осы (6) анықталғаннан кейін р – ны бағалайтын сенімділік интервалын арнайы кесте арқылы табамыз, ал шамасы теңдеуімен анықталады.

87- мысал. (7.1) кестесінде көрсетілген деректі пайдалана отырып, Х пен Y шамалары арасындағы байланыс параметрлерінің маңыздылығын тексеріңіз, және сенімділік интервалдарын табыңыз. Маңыздылық деңгейі а=0,05

Шешуі: Жоғарыда мынадай шамаларды есептегенбіз.

Енді а=0,05 маңыздылық деңгейіндке мына болжамды тексерейік.

Енді болғандықтан H₀ жоққа шығарылады, яғни - маңызды, нөлден әлдеқайда өзгеше, олай болса пен - маңызды болғаны.

Ары қарай сенімділінімен (16)-(17) түріндегі сенімділік интервалдарын анықтаймыз.

екенін біле еесептесек, және интервалдарын аламыз. Енді белгісіз р кореляция коэффициентін бағалайтын сенімділік интервалын табу үшін (18) формуласын пайдаланамыз, сонда

болса, болса, . Енді арнаулы кестені пайдаланып, белгісіз бас корреляция коээффициенті р-ны бағалдайтын сенімділік интервалын сенмділігімен табамыз, сонда .

Сызықты регрессиялық талдау

Регрессиялық талдау тәсілі айнымалылар арасындағы тәуелділіктің түрін анықтау үішн, модельдік регрессия теңдеуін бағалау үшін және тәуелді айнамалылырының белгсіз мәндерін болжау үішн қолданылады. Регрессиялық талдауда нәтижелік белгі деп аталатын y айнымаласының, факторлық белгі деп аталатын Х айнымалысынан біржақты тәуелділігі қарастырылды.

Сонымен, модельдік регрессия функциясы болсын, яғни

(19)

Бірақ y белгісінің кейбір бақыланатын мәндері y(x) есепке алынбаған факторлардың және кездейсоқ себептердің әсерінен, осы - тен азды – көпті ауытқиды. Сондықтан қосақты регрессиялық модель былай жазылдаы:

(20)

Мұндағы ауықтқуды сипаттайтын кездейсоқ айнымалы. Сонымен, бас жинақ (x,y) таңдамысы алынсын.

Енді (20) модельдің ең қарапайым, сызықты түрін қарастырайық

(21)

Осы сызықты модельдің таңдамалық бағасы ретінде мына таңдамалық сызықты регрессиялық теңдеуін аламыз:

(22)

Сонда берілген сенімділігімен белгісіз шартты математикалық үміт - ты бағалайтын сенімділік интервалы мына түрде анықталады:

(23)

- шартты орташаның стандартыт катесі, ал шартты орташаның диперсиясы

(24)

Енді x=x₀ болғандағы белгісіз y₀ мәнін мынадай сенімділік интервалымен болжаймыз:

(25)

Мұнда

(26)

Ал - Стьюдент үлестірімінің саны нүкелері кестесінен анықталады.

88-мысал. Кестедегі деректерді пйдаланып, негізгі өндірістік құрларды 12 млн теңге болатын кәсіпорныдар үшін орташа тәуліктік өнім шығарылымын бағалайтын сенміділік интерваддарын сенмділігімен табамыз.

Шешуі: Жоғарыда мыналарды анықтағанбыз:

Енді мына кестені құрамыз:

xi	ni	yx	(yx-y)*ni
9 10 13 15	10 15 20 5	12.3 12.7 13.7 14.5	8.1 3.75 5.0 8.45
			25.3

Онда

яғни , ал регресси теңдеуінен кестеден . Осы табылған мәндерді (23) және (25) форулаларына қойсақ мына сенмділік интервалдарын аламыз:

Сонымен, негізгі өндіріс шарларының шамасы 12 мли теңге болатын кәсіпорындардың орташа тәуліктік өнім шығарылмы 0,95 сенмділігімен 13,19(T) мен 13,59(T) аралығында болады, ал негізгі өндіріс қорлары 12 млн теңге болатын жеке алынған кәсіпорынның тәуліктік өнім шығарылымы 95% жағдайларда 12,12 тонна мен 14,66 тонна аралығында жатады.