1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 15. Дәріс тақырыбы: Компьютерде модельдеу.

Жоспары.

1. Колмогоровтың дифференциалдық теңдеулері.

2. Кездейсоқ процесстерді компьютерде модельдеу.

Марков процестері. Колмогоровтың дифференциялдық теңдеулері.

30-жылдың басында А.Н. Колмагоров Марков тізбегін негізге ала отырып, ықтималдықтар теориясында жаңа белестің басы болған кездейсоқ процестердің теориясын жасап шығарды. Бұл-Марков процестері деп аталды.

Қарастырылып отырған системаның мүмкін болатын күйлерін былай белгілейік: е₁, е₂,...,е_п. Системаның бұл күйлерінің бірінен екіншісіне көшуі уақыт мезеттеріне байланысты деп ұйғарамыз. Бұдан былай деп жазуды «система t уақытында е_к күйінде болады» немесе « процесі t уақытында е_к мәнін қабылдады» деп түсінеміз.

Мынандай заңдылықты сақталық; s уақытында процесі е_і мәнін қабылдап, ал келесі t уақытында процесі e_j мәні қабылдау ықтималдылығы s-тің шамасына тәуелсіз.

Міне осылай анықталған модельді біртекті марковтық кездейсоқ процесс деп аталады. p_{i j} (t) ықтималдықтары е_і-ден e_j-ге t уақытында көшу ықтималдықтары деп аталады. Марков процесі, анықтама бойынша, p_{i j} (t) ықтималдылықтарымен және де ықтималдылықтардың бастапқы p_k=P үлестірімімен толық анықталады.

М ы с а л. Уақыттың өтуіне байланысты радий (Ra) радонға (Rn)айналатындығы белгілі. Мұндай рациоактивтік ыдырау екі күйден тұратын біртекті марковтік процес құрайды және Ra Rn көшуі жалғыз ғана. p_{i j}(s+h) ықтималдығын қарастырайық. Система s уақытында e_j –ден әйтеуін бір e_v-ге , ал t уақытында e_v –ден e_j –ге көшетін болсын делік . Сонда Марков процесінің «болашақтың кейінгіге байланыссыздығы» принципі және ықтималдылықтарды қосу теоремасы бойынша

p_{i j}(s+t)= . (14)

(14) теңдікті Колмогоров-Чэпен теңдеуі деп атайды.

Марков процесіндегі негізгі мәселе p_{i j} (t) ықтималдықтарының қасиеттерін зерттеу. Бұл -әлі күнге дейін зерттеліп келе жатқан проблема. Оқырмандардың назарын аудару мақсатында ықтималдықтар теориясын өте дамыған саласынан бір ғана теореманы алып отырмыз.

Т е о р е м а. Шектелген е₁, е₂,...,е_п. Күйлері бар марковтық процестің p_{i j} (t) көшу ықтималдылықтары мына шарттарды қанағаттандырсын

1- p_{i j} ( t)=

p_{i j} ( t)= (15)

Сонда p_{i j} (t) ықтималдықтары мынадай диференциалдық теңдеулерді қанағаттандырады:

(16)

(17)

Бұл теңдеулердің бастапқы шарттары мынадай:

p_{i j} =(0){1, егер i j, 0,егер i=j. (18)

Д ә л е л д е у. Колмогоров-Чэпен теңдеулерін, яғни (14) формуланы, екі түрлі қолдансақ

p_{i j} (t+ t)=

Бұдан (15) шарттар бойынша

(19)

мұнда таңбалардың бірлігін сақтау мақсатында барлық і=1,2,...,n үшін деп алып отырмыз. (19) теңдіктің оң жағындағы өрнектердің болғанша шектері бар, өйткені p_{i j} (t) шамалары ықтималдықтар есебінде шектелген. Демек, олардан және шығады.

Осылай болса ,(19) теңдіктің сол жағының да шегі бар және

Сөйтіп, (19) теңдіктердің шекке көшуі арқылы (16) және (17) дифференциалдық теңдеулері келіп шығады . Дифференциалдық теңдеулердің (18) бастапқы шарттары p_{i j} (t) ықтималдықтарының анықтамасына тікелей байланысты. Расында да, 0-ге тең уақыт мезетінде система белгілі бір күйдің өзінде қалып қояды да, ал бір күйден екінші бір күйге көшу болмайды.

Теорема толық дәлелденді.

Колмогоровтың бірінші және екінші (тура және кері деп те аталады) дифференциялдық теңдеулер системалары деп аталатын (16) және (17) теңдеулерін түрлі-түрлі жалпылауғ болады. Мәселен, бұл теңдеулер системасының күйлері саналатын жағдай болған жағдайда да, яғни процесі е₁, е₂,...,е_п,... мәндерін қабылдайтын болғанда да, орындалады. Мұнда тағы да қосымша мынадай шарттарды талап ету керек: (16) теңдеулер системасы орындалу үшін қатарының жинақтылығын, (17) теңдеулер системасы орындалу үшін әрбір j-ге сай барлық i=1,2,.. болғанда шамалары шектелгендігін, яғни болатындығын , шарт етіп қою керек .

Колмагоровтың тура және кері дифференциялдық теңдеулер системасын шешу мәселелері, сонымен, тиянақты бір қарастырылатын системаның эволюциясына байланысты.