1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 14. Дәріс тақырыбы: Процесстер.

Жоспары.

1. Пуассон процессі.

2. Марков процесстері.

Пуассон процесі. Бұл параграфта уақыт мезеттерінде теріс емес мәндерді қабылдайтын процестерін қарастырып, мынадай терминология қолданамыз: « процесі n-ге тең мән қабылдайды» деп айтудың орнына « t-ға тең уаққытта n өзгеріс болады » деп айтамыз.

T уаққытында n рет өзгеру болуының ықтималдығын p(t) арқылы белгілелік.

Мынадай қасиеттері бар кездайсоқ процесті:

1. Процестің стационарлығы: ұзындықтары тең уақыт аралығында тең өзгерістер болады;

2. Кейінгі ықпалдың жоқтығы: болашақтағы өзгеріс саны өткен шақтағы өзгерістерге тәуелді болады;

3. h ұзындықты аз интервалда бір немесе одан да көп өзгерістердің болу ықтималдығы шексіз аз шамаға дейінгі дәлдікпен көбейтіндісіне тең, мұндағы -оң тұрақты шама.

Белгілеуіміз бойынша h уақытында өзгеріс болмау ықтималдығы p₀(h) айырымы h уақытында бір немесе одан да көп өзгерістер болу ықтималдығын көрсетеді. Сондықтан да, 3) қасиеті мына теңдік түрінде жазуға болады:

(5)

мұнда 0(h) арқылы h-пен салыстырғанда нольге тезірек ұмтылатын шама белгіленген.

4) R ұзындықты аз интервалды бірден артық өзгерістер болуы мүмкін емес, яғни боғанда

(6)

Пуассон процесі деп аталады.

Ендігі мақсатымыз- Пуассон процесін анықтайтын осындай төрт қасйеттерді пайдалана отырып, ықтималдығы үшін формула іздестіру. деп алып, интервалында n рет өзгеріс болу ықтималдығын қарастырамыз. Бұл ықтималдық бір жағынан алғанда белгілеуіміз бойынша – p_n(t + h). Екінші жағынан алғанда өзгерістің (0, t +h) аралығында болуын мынадай бір – бірімен қиылыспайтын үш оқиғаның бірігуі деп қарастыруға балады: а) (0, t) уақытында n рет өзгеріс болады, ал (t, t + t) аралығында ешбір өзгеріс болмайды: б) (0, t) аралығында (n-1) рет өзгеріс, ал (tt, +h ) аралығында бір өзгеріс болады; в) (0, t) аралығында (n-x) өзгеріс, ал (t, t + h) аралығында өзгеріс болады.

а) пунктіндегі оқиғаның ықтималдығы өрнегіне, б) пунктіндегі оқиға ықтималдығы өрнегіне тең болатындығын 1) және 2) қасиеттер мен (5) теңдікпен қорытып шығарамыз. Сондай ақ (6) теңдікпент в) пункттегі оқйғаның ықтималдығы h-қа қарағанда тезірек нольге ұмтылатынына көз жеткіземіз. Сонымен, ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша немесе бұл теңдіктің екі жағын h –қа бөлсек,

(7)

h нөлге ұмтылғанда (7) теңдіктің сол жағы туындысын береді де, ол мына дифференциалдық теңдеуге көшеді:

(8)

Егер n = 0 болса, онда жоғарыда келтірілген б) мен в) жағдайлары болмайды. Сондықтан да, (7) теңдік теңдігіне көшеді. Бұдан кейін мынадай

(9)

дифференциалдық теңдеу шығады.

Сөйтіп, ықтималдығын анықтау үшін рекурренттік (9) және (8) дифференциалдық теңдеулері келіп шықты. Бұл теңдеулердің шешімдерін табу үшін бастапқы шарттарды көрсетуіміз керек. Ол p_n(t) анықтамасынан алынады:

p₀(0) = 1, p_n(0) = 0 (10)

(10) бастапқы шарты бойынша (9) теңдеуді шешсек:

(11)

Енді n = 1 деп алып, (11) формуланы және (10) бастапқы шарттарды пайдалансақ, сөйтіп, (8) дифференциалдық теңдеудің шешімін табатын болсақ, . Міне, осы процесті әрі қарай жүргізе берсек, мынадай ізделінді формулаға келеміз:

(12)

мұнда n =0, 1, 2, ..., мәндерін қабылдайды (12) формуладан t =1 болғанда

(13)

келіп шығады, ал бұл бұрыннан белгілі Пуассонның үлестірім заңы екендігін көреміз. Егер де II тараудың 3-ші параграфында Пуассон заңы Бернулли үлестірімінің шектік жағдайы деп қарастырсақ, (13) формула бойынша Пуассон заңының жаңа анықтамасы, оның үстіне кеңейтілген анықтамасы келіп шығады: уақыт бірлігі ішінде n өзгерістер болу ықтималдығы өрнегіне тең. (12) формуланы қорытып шығару барысында λ- ның оң тұрақты шама екендігін айтып өттік. Жалпы алғанда, λ тұрақты t уақытында n рет өзгеріс болуының тығыздығын көрсетеді, мәселен (11) формуладан λ өскен сайын ешбір өзгеріс болмау ықтималдығы азая беретіндігін көреміз.

Пуассон процесіндегі λ параметрінің практикада қалай табылатындығына тоқталалық. Мәселені былай қоюдың зор маңызы бар. Шынында да Пуассон процесінің қолданылатын ауқымы кең. Мәселен, радиоактивті заттардың ыдырау мөлшері, кеңістіктегі жұлдыздар саны, дақыл дән тұқымдарының ішіндегі арамшөп тұқымдарының саны, жер бетіндегі жануарлардың жаңа туған балаларының саны және басқалары Пуассонның үлестірім заңына бағынады.

Сөйтіп, неғайбыл λ санын табу керек болсын. Ол үшін көп етіп, N рет тәжірибе жүргізілсін. Белгілі бір t уақытындағы болған өзгерістардің санын әрбір тәжірибе сайын есептейміз. N_k арқылы κ рет өзгеріс болған тәжірибе санын белгілейміз. Сонда N =N₀ + N₁ + N₂ + … N рет тәжірибе жүргізгенде пайда боған өзгерістердің жалпы саны Т деп белгілесек, Т = N₁ + N₂ + … және де бір тәжірибедегі болатын өзгерістердің орта саны болады. Үлкен сандар заңы бойынша (IV тарауб, §1)

Осы өрнекті алдыңғыға апарып қойсақ,

бұдан

Бұл қатынас жүргізілген тәжрибелер бойынша λ шамасын бағалауға және теориялық материалды экспериментпен салыстыруға мүмкіндік береді.

Бұл төменде дүние жүзіне аты белгілі, физика ғылымының өкілдері Резерфорд, Чедвик және Эллстердің әрбір 7,5 секунд сайын N = 2608 жүргізген радиоактивтік заттың ыдырауы жайында ақпар беретін таблицаны беріп отырмыз: Бұл таблица Г. Кермердің «Математические методы статистики» (ИЛ., М., 1948, 472 бет) кітабынан алынған.

k	0	1	2	3	4	5
N k	57	203	383	525	532	408
	54,399	210,523	407,361	525,466	508,418	395,515
k	6	7	8	9	10	Барлығы
N h	273	139	45	27	16	2608
	253,817	140,325	67,882	29,188	40,075	2608

Бұл таблицаның бірінші жолында белгілі бір уақыт ішіндегі (бізде – 7,5 секунд) пайда болған өзгерістер саны, екінші жолында k рет өзгерістер болатын тәжрибелер саны келтірілген, ал үшінші жолында өрнегінің мәні есептелген. Екінші жіне үшінші бағаналарды салыстыра отырып, теориялық мәндердің шын мәндермен жақындығын көреміз.

Пуассонның жуықтап есептеу формуласы. Бернулли схемасының қолдануларында мейлінше үлкен болғанда, тым аз болғанда, ал аз да, көп те болмаған жағдайда ықтималдығын жуықтап есептеуге болады.

Атап айтқанда, егер және болғанда әрбір

үшін формуласы орынды

Мысалы: Заводтан шығатын өнімнің орта есеппен алғанда 0,02 проценті жарамсыз бұйым. 2000 бұйымды алып тексергенде жарамсыз бұйымдардың саны 3-ке тең болу ықтималдығы қандай?

Шешуі: Жүргізілетін барлық тәжірибе саны 2000 әрбір тәжірибеден бұйымның жарамсыз болу ықтималдығы-0,0002

, ал