1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 13. Дәріс тақырыбы: Кездейсоқ процесстер.

Жоспары.

1. Марков тізбегі.

2. дүркін көшу ықтимадықтары.

3. Кездейсоқ процесстер туралы түсінік.

4. Стационар кездейсоқ процесстер.

Кездейсоқ шамалардың тәуелді тізбегін алғаш рет орыстың көректі оқымыстысы Андрей Андривич Марков өзінің 1906 – 1908 жылдарындағы еңбектерінде қарастырылған.

Марковтың тізбекке қойған шарты: Қандайда болмасын системаның эвомоциясының болашағы тек қазірге байланысты. Ғылым саласында мұндай шартқа бағынатын кездейсоқ шамалар тізбегін Марков тізбегі деп атайды. Бұл анықтамаға математикалық сипат беріп, Марков тізбегін қарастыралық.

n рет тәжірейбе жүргізелік. Әрбір тәжірибеде өзара қилыспайтын Е₁,Е₂, .... Е_s оқиғаларының біреуі пайда болатын болсын. Мұндайда терминалогия қолданалық k – шы тәжірибені жүргізгенде Е_i оқиғасы пайда болды.

Системаның (k – 1) – ші тәжірибеде i – ші күйде болып, ал k – ші тәжірибеде j – ші күйде болу ықтималдығы k – ға тәуелсіз деп алып, Р_{i j} арқылы белгілелік. Осындай Р_{i j} шартты ықтималдығын i – ші күйден, j – ші күйге көшу ықтималдығы деп аталады.

Бастапқы жүргізілген тәжірибенің Е _j нәтеженің ықтималдығы Р_i арқылы белгілелік, бастапқы үлестірім деп атауымыз.

Анықтама: Е₁,Е₂, .... Е кездейсоқ оқиғаларының системасын Р_{i j} көшу ықтималдықтарымен және Р _j бастапқы ықтималдықтарымен қоса алғанда Марко тізбегі деп аталады.

Р_{i j} көшу ықтималдықтарын мынандай матрица түрінде жазуға болады: Р= =( Р_{i j} )^s₁ (1) матрицаны көшу ықтималдықтарының матрицасы деп аталады.

Көшу ықтималдықтарының матрицасының мынандай қасиеттері бар:

1⁰. Көшу ықтималдықтарының матрицасы теріс емес элементтерден тұрады, яғни барлық i мен j лер үшін Р_{i j} >0.

2⁰. (1) матрицасының жолдарының элементерінің қосындысы бірге тең,яғни кез келген i үшін Р_i1 + P_i2 + …P_is=1.

Осындай екі қасиеттері бар кез келген матрицаны стахостикалық деп аталады. Кез келген стахостикалық матрица көшу ықтималдықтарының матрицасы бола алады және ол бастапқы Р _j үлестіріммен бірге Марков тізбегін толық анықтайды.

Р _j ықтималдығы i – ші күйден j – ші күйге көшуді, яғни стриелка арқылы жазғанда Е_i E_j көшуді, сипаттайды. Егер Р_{i j} =0 болса, онда Е_i E_j көшуі мүмкін емес. Ол Р_{i j} =1 болса, онда Е_i E_j көшуі ақиқат болғаны.

Мысалы: Екі жәшік бар. Олардың біріншісінде екі ақ және екі қара шар, ал екіншісінде екі ақ және бір қара шар болсын. Бірінші және екінші жәшіктен қалай боса солай шарлар алынды және де алынған шарлар жәшікке қайтадан салынды .

Е₁ – қалай болса солай ақ шарлардың.

Е₂ – қара шарлардың алынуы.

Шартар орындалғанда көшу ықтималдықтарының матрицасы мынандай болады.

Кездейсоқ процестер туралы түсінік. Стационар кездейсоқ процестер.Практикада уақытқа байланысты болатын кездейсоқ шамалар кездеседі. Мысалы: Телефон станциясына келіп түсетін шақыру санын қарастырайық. Әрбір t уақыт мезетінде келіп түскен шақыру санын { (t) арқылы белгілейік. Бұл {(t) тәуелді функция болады. Функцияның аргументі t- уақыт Функцияның қабылдайтын мәндері кездейсоқ шамалар. Мәселен бірінші шақыру t уақытында екінші шақыру t2 уақытында және т.с.с келіп түссе, онда 0<t<t1 болғанда {(t)=1 t1<t<t2 болғанда {(t)=2 және т.с.с Сонымен біздің қарастырып отырған тәжірбиеге сәйкес элементар оқиғалар кеңістігінің нүктелері {(t) функциялары болады.

Уақытқа тәуелді кездейсоқ шамаларды кездейсоқ процестер деп атайды. Кездейсоқ процестерді {(t) арқылы белгілейміз. Мұндағы кездейсоқ процестерді кейде кездейсоқ функциялар деп атайды.

Белгілі бір экспериментте пайда болған кездейсоқ процес құратын функцияны процестің реализациясы деп атайды. Демек, процестерге сәйкес элементар оқиғалар кеңістігі өте күрделі.

Кездейсоқ процестер ықтималдықтар теориясында қалай зертеледі? Бұл сұраққа жауап беру оңай шаруа емес. Жалпы алғанда кездейсоқ процестерді топ-топқа бөліп, жеке – жеке тексереді.

Мысалы, кез-келген t1,t2,...tn уақыт мезеттері үшін {t1,{t2,..{tn кезжейсоқ шамаларының біріккен үлестірімі үшін белгілеу енгізейік: F(x1,x2,…xn,t1,t2,…tn)=P{(t1)<x1,{(t2)<x2,…{(tn)<xn мұндағы x1,x2,…xn кезейсоқ емес, айнымалы шамалар. Егер кез-келген мен n үшін F(x1,x2,..xn), (t1+^,t2+^,…tn+^)=F(x1,x2,..xn, t1,…tn) (3) теңдігі орындалса, онда {(t) процецін стационар деп атaйды.

Сонымен {t стационар процесс болса, онада онеың үлестірім заңы уақытқа байланысссыз болады. Айнымалының екі өлшемді үлестірімі уақыттардың айырымына ғана тәуелді. Мысалы, белгілі бір тұрғын үйдегі t жылылық ішіндегі жылдық орта температура {(t) стационар кездейсоқ шама болады,өйткені ұзақ жылдар байланысты. Климат жағдайларына байланысты өзгермей қалатындығы диффункциясының үлестірімі барлық t үшін бірдей болатындығын көрсетеді.Радиотехникалық (кездейсоқ шулар)метериологияның, геофизиканың және де басқа ғылым салаларының көптеген ғылым салаларының стационар процестерге келіп тіркеледі. (3) Теңдік бойынша {(t)стационар процестің сандық сипаттамалары t мезетіне тәуелсіз болады. Мәселен, {(t) -дің дисперциялары бар болса, онда

M({(t+j))=M({(t))=M({(0))=a

D({(t+j))=D({(t))=D({(0))=j²

Стационар процестің маңызды сипаттамаларының бірі- авто коэффиценті. Бұл {(t) процесі үшін былай анықталады:

Формула негізінде автокорреляция коэффицнетінің қасиеттері корреляция коэффицнеттерінің қасиеттері сияқты екендігін көрсетеді.