1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М:

ВШ, 2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике.-М: ВШ, 2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика

элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-

Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II –

М., Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

6. Ақпараттар теориясының негізгі ұғымдары.

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары мен теориялары.

№ 2. Дәріс тақырыбы: Оқиға және ықтималдық.

Жоспары.

1. Оқиғаның ықтималдығы. Жиліктік ықтималдық.

2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Ықтималдықтардың қасиеттері.

3. Жиын ұғымы. Жиынның элементтері.

Жиын ұғымы математикада негізгі ұғым болып саналады. Сондықтан оны тек мысалдармен ғана түсіндіруге болады. Мысалы, қайсы бір класс оқушыларының жиыны туралы, Әлемдегі планеталар жиыны туралы, осы беттегі сөздер жиыны туралы, орыс алфавитіндегі дауысты дыбыстар жиыны туралы айтуға болады. «Жиын» сөзі математикада «жиынтық», «класс», «жинақ», «коллекция» деген сөздердің, яғни қайсібір нәрселер жиынтығын сипаттайтын сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықта бір ғана нәрсе болуы немесе бірде бір нәрсе болмауы мүмкін.

Жиын тұратын кез-келген нәрселер оның элементтері деп аталады. Мысалы, дүйсенбі-апта күндері жиынның элементі, 3 саны-бір таңбалы натурал сандар жиынының элементті. Жиын мен оның элементтерінің арасындағы «элементі болады» деген байланысты «тиісті» сөзінің көмегімен де білдіруге болады. Мысалы, 3 саны бір таңбалы натурал сандар жиынына тиісті деп айтуға болады.

Соңғы сөйлемді символдың көмегімен қысқаша жазуға болады: 3 А. Бұл жазуда А әрпі арқылы бір таңбалы натурал сандар жиыны белгіленген, ал

белгісі «тиісті» сөзін алмастырады.

Жалпы жазуы «а заты А жиынының элементті», немесе «а заты А жинына тиісті», немесе «А жиынында а элементті бар» деп оқылады. а А жазуын «а заты А жиынына тиісті емес», немесе «Ажиынында аэлементі жоқ», немесе «а заты А жиынының элементі емес» деп оқылады.

А әрпімен жұп натурал сандар жиынын белгілейік. Сонда 6 А , 28 А, 17 А, 2/3 А деп жазуға болады.

Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шектеусіз де болуы мүмкін. Мысалы, қайсыбір педучилище оқушыларының жиынының элементтерінің саны шектеулі, ал түзудегі нүктелер жиыны шектеусіз. Жиын тек бір ғана элементтен тұруы мүмкін. Жиын элементтерінің өздері де жиын болуы мүмкін. Мысалы, мектептегі кластардың жиыны туралы айтуға болады. Бұл жиынның элементтері – кластар, ал кластың өзі сондағы оқушылар жиыны болады. Бірақ оқушылар мектептегі кластар жиынының элементтері бола алмайды. АВС ұшбұрышы тең бүірлі деп тұжырымдай отырып, біз оны тең бүйірлі үшбұрыштар жиынына тиісті дейміз. Математикада қайсыбір фигураның, немесе санның берілген жиынға тиісті еместігін дәлелдейтін есептер жиі қарастырылады.

2.Жиындардың берілу тәсілдері мен түрлері.

2.1. Жиындардың жазылуы мен берілу тәсілдері .

2.2. Жиындардың түрлері.

2.3. Егер әрбір нәрсе туралы оның жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.

Жиынды оның барлық элемсенттерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер де a,b,c,d,-әр түрлі нәрселердің белгіленулері болса, онда осы нәрселердің жиынын А={ a,b,c,d,} түрінде жазып, оны «А жиыны a,b,c,d, элементтерінен тқрады» деп оқиды. Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет ғана енеді.

1. Мысалы, 32 545 882 санының әр тұүрлі цифрларынан тұратын жиын {3,2,5,4,8}, ал «есеп» деген сөздегі әр түрлі әріптер жиыны{е,с,п}түрінде жазылады.

Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ қасиетін, атау болып саналады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.

2. Мысалы, 7 ден кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда, олардың «натурал және 7 ден кіші сан болуы мүмкін» аталып отыр. Қарастырылып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. A= (1,2,3,4,5,6}.

Жиынның осылай берілу тәсілі математикада жиі қолданылады.

3. Мысалға радиус r, центрі О болатын шеңбердің «центрі О және радиусы r болатын шеңбер деп жазықтықтың О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелер жиынын атайды» деген анықтамасын еске түсірейік.О-дан r қашықтықта және бір жазықтықта жату-центрі О және радиусы r болатын шеңбердің барлық нүктелеріне тән қасиет және бұл қасиетке шеңберге тиісті емес бірде-бір нүкте ие бола алмайды.

Элементтердің сипаттамалық қасиеті көрсетілген жиынды былай жазуға болады: фигуралық жақшалар ішіне алдымен элементтерінің белгіленулері жазылады. Содан кейін вертикаль сызықша қояды да сызықшадан соң осы жиын элементтеріне және тек соларға ғана тән қасиетті жазады. Мысалы, 7 ден кіші натурал сандар жиыны А былайша жазылады:

A= {x/x натурал сан , x<7}.

Сонымен қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның элементтерін атап шығу , не оның элементтеріне тән қасиетті көрсету керек. Бірақ кейбір кезде шектеусіз жиынды да бірінші тәсіл мен пайдаланып жазуға болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын N әрпі арқылы белгілеп мына түрде N={1,2,3,4,5,6...} жазуға болады. әрине жиынды тек көпнүктелер орнына не болатыны белгілі жағдайда ғана осы түрде жазуға болады.

Барлық натурал сандардан және нольден тұратын жиынды И арқылы белгілеп былай жазуға болады: N ={1,2,3,4,5,6...}

Бұл жиынды оң бүтін сандар жиыны деп атайды.

Барлық бүтін сандар жиынын Z әрпі арқылы белгілеу келісілген:

Z ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}Математиканы оқып – үйрену барысында шешуге тұра келетін көптеген есептер элементтерінің ортақ қасиеті көрсетілген жиынды табумен байланысты болады

Ықтималдықтардың классикалық анықтамасы. Оқиғаның ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.

Егер де тең және жалғыз мүмкінді сыйыспайтын барлық n- жағдайлардың ішінде m саны осы А- оқиғасының орындалуына қолайлы жағдайлар саны болса, онда m санының барлық n – санына қатынасын осы а оқиғасының орындалуының ықтималдығы дейміз, оны Р (А) деп белгілейміз:

Р(А)= (1.1)

бұл француз ғалымы Лаплас берген (1749-1827ж.ж) анықтама.

1-мысал.

Екі теңгені лақтырғанда ең болмағанда бір рет «сан» жағының түсу ықтималдығы қандай?

Шешуі: Тәжірибе-2 теңгені лақтыру. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі

Е={е_Т е_Т, е_Т с, с е_Т, с с } болады. Олай болса n =4. А оқиғасы ең болмағанда бір рет «с» жағының түсуі. Демек, m =3. Сондықтан

Р(А)= = =0,75.

2- мысал.

Ойын сүйегін екі рет лақтырғанда пайда болған ұпайлардың қосындысы 6- ға тең болу ықтималдығы қандай?

Шешуі: Тәжірибе, ойын сүйегін екі рет лақтыру болады. Сонда Е={<i,j>:i= }, яғни n=6²=36.

А оқиғасы ұпайлардың қосындысы алтыға тең болуы: А={(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},

Р(А)= , өйткені элементар оқиғалар саны 36-ға , ал А-ға қолайлы жағдайлар саны 5-ке тең.

3-мысал.Тиынды бір рет лақтырайық. «е_Т» пайда болу ықтималдығы

Р(А)= .

Ықтималдықтың негізгі қасиеттері

1. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бірге тең, яғни Р(Е)=1, шынында, ақиқат оқиғаға барлық элементар оқиғалар қолайлы болады. Сондықтан

Р(А)= = =1.2. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нөлге тең, яғни Р(Ø)=P(V)=0. Шынында мүмкін емес оқиғаға ешбір элементар оқиғаға қолайлы емес. Демек Р(Ø)= =0.

3. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0≤Р(А)≤1 теңсіздігін қанағаттандырады. Шынында, А оқиғасына «қолайлы» жағдайлар саны m≥0 және барлық жағдайлар саны үшін m≤n (n≠0), демек,0≤m≤n

≤ ≤ 0≤ ≤1.

4-мысал.36 картаның ішінен тәуекелге 3 картаны суырып алайық. Осы 3 картаның 2-інің «тұз» болуының ықтималдығын табу керек.

Шешуі: «А» біздің іздеп отырған оқиғамыз болсын. Жалпы жағдайлар саны n = C . Ал «А» оқиғасына «қолайлы жағдайлар» саны- m, ол m= С С .

Сондықтан Р(А)= = = =0,02269.

5-мысал. Жәшікте барлығы N шарлар бар, оның ішнде n қара шар бар, ал (N-n) - көк шарлар. Жәшіктен кез келген m шар алынды. Сол алынған m шардың ішінде k қара шар болуының ықтималдығы қандай.

Шешуі:

Жәшіктегі N шардан m шарды әр түрлі С жолмен алуға болады. Ал ,n қара шардан k шарды әр түрлі С жолмен алуға боады. Сонда алынған m шардың ішінде m-k көк шарлар болғандықтан барлық N-n көк шарлардан m –k көк шарды С жолмен алуға болады. Сонымен жәшіктен алынған шардың k қара шарын С жолмен , ал қалған m-k көк шарды С жолмен алуға болады екен. Олай болса комбинаторикадағы көбейту ережесін қолдансақ, алынған m шардың ішінде k- қара шар, m-k - көк шар болуы С С жолмен анықталады.

Сонда ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша

Р(А)= = .