Ең үлкен сан және ең үлкен ықтималдық

және ықтималдықтардың қатынасын алып, түрлендірулер жүргісек:

мынандай қорытындыға келеміз: егер болса, онда ықтималдығы ықтималдығынан үлкен; болса, онда ықтималдығы ықтималдығынан кіші; ал бүтін сан болса, онда бұл ықтималдықтар өзара тең.

Пуассоның жуықтап есептеу формуласы.

Бернулли схемасының қолдануларында мейлінше үлкен болғанда, тым аз болғанда, ал аз да, көп те болмаған жағдайда ықтималдықтарын жуықтап есептеуге болады. Атап айтқанда, егер және болғанда әрбір үшін формуласы орындалады. Мұны Пуассонның жуықтап есептеу формуласы.

1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 6. Дәріс тақырыбы: Муавр-Лапластың теоремалары.

Жоспары.

1. Муавр-Лапластың локальдық теоремасы.

2. Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы.

Муавр-Лапластың локальдық теоремасы.

п рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының т рет пайда болу ықтималдығын, Р_п(т)=ді , n→∞ және m→∞ болғанда есептеу үшін жуықтап есептейтін формула бар. Мақсатымыз мына теореманы дәлелдеу .

Т е о р е м а. Егер А оқиғасының әрбір тәжірибе жүргізгендегі ықтималдығы p(0<p<1) тұрақты болса және тәжірибе саны n мен А оқиғасының пайда болу саны m шексіздікке →∞ болатындай болып ұмтылса, онда әр біртиянақты m үшін

(15)

Д ә л е л д е у .Ыңғайлы болу үшін жаңадан δ_m=m-np айнымалысын енгізелік . Сонда m=np+ δ_m, n-m=ng- δ_m (16)

Теореманың шарты бойынша n→∞ және

Математикалық анализ курсында k! үшін Стирлинг формуласы дәлелденді:

(17)

Енді

теңдігіндегі фаториалдардың орындарына (17) формуланы апррып қойсақ, соднн кейін (16-ны) түрлендірулер жүргізсек,

(18)

(18) қатыстығы бөлшекті бағалау үшін логарифмдерге көшеміз, содан кейін оларды |δ_m| интервалында Тейлор қатарына жіктесек,

(np+δ_m) ln(1+ )+(ng- δ_m) ln(1- )=

=(np+ δ_m) (19)

(19) теңдіктің оң жағындағы мүшелерді δ_m-нің дәрежелері бойынша топтастырсақ,

(20)

болғандықтан (20) өрнекті мүшесі басым болады.

Сонымен қатар, np+δ_m~ng екендігін ескеріп , (18), (19)формулаларынан мынау шығады;

бұдан

сөйтіп іздеп отырған асимтоталық формула дәлелденді.

Практикалық есеп шығарғанда логикалық шектік теореманы мына түрде қолданған қолайлы.

Егер n→∞ , m→∞ n- m→∞ болса онда әрбір m үшін ,

Мұндағы

X= ал (21)

Мысалы келтірелік. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы 0,6-ға тең. 200 рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының 125 рет пайда болу ықтималдығы қандай?

Ш е ш уі : n=2000, p=0.6; g=1-p=0-4; m=125 Енді (21) формулаға сәйкес есептеулер жүргіземіз. P(a ),np=125, m-np=125-120=5. =(48) =6.93.

X= Таблицадан қарап, мәнін тауып аламыз. Сонымен,

Практикада n мен к саны артып барған сайын ықтималдықты Бернулии формуласы арқылы есептеу өте күрделі болып барады.

Мысалы: Өткізілген 250, сынақтарда әр сынақта орындалу ықтималдығы 0,4 ке тең болған А оқиғаның 82 рет орындалу ықтималдығы табылын.

Шешілуі: n=2.50, k=82, q=1-P=0.6

Бұндай жағдайда ықтималдықты есептеу өте күрделі болады. Ал практикада бірар-оқиғаның орындалу ықтималдығын 0,01 немесе 0,001 анықтықпен табудың өзі жеткілікті. Сондықтан 1730 жылы Лаплас бұл мәселесі оңайлатудың р=0.5 болғандағы ал 1783 Лаплас барлық Р-лар үшін локалдық теоремасын дәлелдеген.

1. Муавр-Лапластың локалдық теоремасы

Теорема: Әр сынақта пайда болу ықтималдығыР ға тең болған А оқиғаның n сынақтарда к рет пайда болуы ықтималдығы шамамен

функцияның

мәніне тең болады.

Есептеулерді оңайлату үшін ықтималдықтары оқу құралдарында функцияның мәндері кесте түрінде келтіріледі.

Мысалы: А оқиғаның әрбір сынақта орындалу ықтималдығы 0,4 ке тең. 150 сынақта оның 80 рет пайда болуы ықтималдығы табылсын.

Шешілуі:

кестеден ны табамыз.

Сонда болады.

Жауап: