Чебышев теңсіздігі

1846 жылы орыстың ұлы математигі П.Л.Чебышев(1821-1894) ғылыми зерттеулер және практикалық мәселелерді шешуде өте маңызды теңсіздік дәлелденді.

Чебышев теңсіздігі Егер кездейсоқ шамасының дисперсиясы бар болса, онда

, (1) мндағы Чебышев теңсіздігі кездейсоқ шаманың оның математикалық үмітінен ауытқуын бағалау үшін қолданылады: ,(2)

(1) және (2) теңсіздіктердің ішкі мағыналары бірдей екендігі қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтардың арасындағы байланыстан келесі шығатындығы көрініп тұр. (2) теңсіздіктің дәлелдеуді үзіліссіз кездейсоқ шама үшін жүргізелік. Ол үшін -дің ықтималдық үлестірім тығыздығын арқылы белгілелеі. Мына қатынасты жазуға болады: Интегралдау барысында немесе 1 болып қалады. Сондықтан, интеграл таңбасына көбейткішін енгізсек, соның теңдіктің оң жағы тек өседі: (1), (2) теңсіздігі дәлелденді.

Сызықтық корреляция. Регрессия теңдеулері.

мен екі кездейсоқ шамалардың арасындағы байланыс мәселелерін шешіп алу мақсатында корреляция коэффициенті деп аталатын ұғым енгізіледі. мен -ның корреляция коэффициентін арқылы немесе арқылы белгілесек, ол формуласымен анықталады, мұндағы мен кездейсоқ шамалардың математикалық үміті мен дисперсиясын көрсетеді. Корреляция коэффициенті былай да анықталады:

1-Т-а Кездейсоқ шамалар сызықтық түрлендіргеннен корреляция коэффициенті өзгермейді, басқаша айтқанда, егер кез-келген тұрақты сандар болса, онда .

Дәлелдеу үшін математикалық үміттің және дисперсияның қасиеттерін пайдаланып, элементар түрлендірулер жүргізе

2.Т-а корреляция коэффициенті-1 мен 1-дің арасында орналасқан сан, яғни

Дәлелдеу Мынандай кездейсоқ шамаларды енгізіп корреляция коэффициентін теңдігімен де анықтауға болады.

А-а сызықтық функциясын кездейсоқ шамасының кездейсоқ шамасына регрессия функциясы деп атайды. неғұрлым 1-ге жақын болса, -ның мәндері орта есеппен алғанда регрессия функциясыныан солғұрлым аз ауытқиды. Жоғарыда ның -ге регрессиясы туралы айтылды. Мұның бәрі әрине -дің ға регрессиясына көшіруге болады. Мысалы, кездейсоқ шамасының кездейсоқ шамасына регрессия функциясы мынау:

Кездейсоқ шаманың моменттері

кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы функциясы осіне асимптотикалы жақындайтын обылысы делік Сонда -дің үлкен мәндері аз ықтималды болады. Демек -дің мәндері үлкейген сайын математикалық үміт пен орта квадратқа тигізетін әсері азаяды.

А-а кездейсоқ шаманың ретті моменті деп шамасын айтады.

ретті момент математикалық үміттің жалпыланған түрі, атап айтқанда .

А-а кездейсоқ шаманың ретті орталық моменті деп шамасын айтады. ретті орталық момент дисперсияның жалпыланған түрі, атап айтқанда моменттің анықтамаларындағы , жалпы алғанда кез-келген оң сан үшін орталық момент арқылы кездейсоқ шаманың асиметрия коэффициенті немесе тек қана асимметрия деп аталатын сипаттамасын теңдігімен қалай бұзылғандығын көрсетеді.