1. Негізгі әдебиеттер тізімі

1. Гмурман В.Е. теория веоятностей и математическая статистика.-М: ВШ,2006г.477с.

2. Гмурман В.Е. руковдство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М: ВШ,2007 г.477с.

3. Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері.-Алматы: Мектеп, 1988.188 б.

4. Бекетаев Қ. Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика.-Алматы: рауан, 1991ж. 432 б.

5. Ширяев А.Н. Вероятност-Москва: Мектеп, 1989 ж. 640с.

6. Розанов а. Лекция по теории вероятностей и ее приложения.-М.,наука,1986.

7. Феллер В. Введение в терию вероятностей и ее приложения. Том I,II – М.,Мир,1984.

2. Қосымша әдебиеттер тізімі

1. Ширяев А.Н.Вероятность.-М.:1989.

2. Розанова А.Леккция по теории вероятностей. М.: Наука 1986.

3. Феллер В.Введеня в теории вероятностей иее приложения.М.:Наука 1986.

4. Ширяев А.Н. Вероятность.-М.: Наука,1989.

5. Агапов Г.И.Задачник по теории вероятностей.-М.:Наука,1986.

№ 11. Дәріс тақырыбы: Бағалаулар

Жоспары.

1. Нүктелік бағалаулар.

2. Интервалдық бағалаулар.

3. Қалыпты үлестірімді шаманың параметрлерін бағалау.

Нүктелік бағалаулар.

1. Таңдама арқылы бірден табылатын нүктелік бағалар. Айталық Х үлестірімінің белгісіз параметрін Ө деп белгілейік, ал оның таңдама әдісі арқылы табылатын нүктелік бағасын Ө* делік. Әр түрлі таңдамалар үшін Ө* өзгеріп отырады. Сондықтан Ө*- кездейсоқ шама болады.

Егер М(Ө*)=Ө* болса, онда Ө* жылжымаған баға деп аталады.

Егер P (|Ө-Ө*|< )-1 болса, онда Ө* орнықты баға деп аталады. Жалпы жағдайда таңдамалық орташа жылжымаған баға болады.

Жылжымаған баға ретінде

D = - ( ) ,

ал жылжымаған баға ретінде

S = D

түзетілген таңдамалық дисперция алынады.

Мұндағы n- таңдама көлемі.

Ал Х – дегеніміз дискретті немесе үзіліссіз сандық сипатты белгі.

Айталық Х – дискретті кездейсоқ шамасы болып, p(Х=х )=p(х ,Ө) болсын,

i = ; Ө - белгісіз параметр.

Мына

L(x , x x Ө)= p(x , Ө)p(x , Ө)p(x ,Ө) (13)

Функциясын Х кездейсоқ шамасының шындыққа ұқсас функциясы деп атайды. Осы (13) функцияға максимум мән әперетін Ө*(х ,х )-ы белгісіз параметр Ө- ның нүктелік бағасы дейді.

(13) функция мен In L функциялары Ө- ның бір мәнінде максимумға жетеді. Сондықтан In L функциясын максимумге зерттеу өте ыңғайлы болады.

1-мысал. p (k)=C p (1-p) биномдық үлестірімінің параметрі р- нің нүктелік бағасын табалық:

Шешуі: шындыққа ұқсас L функциясын жазайық.

L= p (k )p (k )=C C p (1-p) (14)

мұнда Ө=p x =k ,x =k ,x =n ,x =n

In L= In(C C )+(k +k )In p+(n +n -k -k )In (1-p) (15)

(15) функция р- дан тәуелді, сондықтан оның максимум нүктесін табамыз. Демек р*= мәні р – параметрінің нүктелік бағасы болады.

Егер Х – үзіліссіз кездейсоқ шама болсын, ал f (х, Ө) белгісіз параметр Ө- дан тәуелді тығыздығы дейік.

Бұл жағдайда шындыққа ұқсас функцияны мына

L(х ,х х Ө)= f(х , Ө)f(x , Ө)f(x , Ө) (16)

формуламен анықтаймыз.

Бұл жағдайда (16) функциясына максимум әперетін Ө*=Ө*(х ,х ) нүктесін белгісіз Ө параметрінің нүктелік бағасы дейді.

2 – мысал. Көрсеткіштік үлестірімінің

f(x)= e (0< x < ) (17)

белгісіз параметрінің нүктелік бағасын табыңыз.

Шешуі: шындыққа ұқсас функцияны құрамыз.

L(х ,х х )= e e e (18)

Сонда

In L= nIn - (x ++x ) (19)

Енді осы (19) функциясын максимумге зерттесек сын нүктесі

= =

максимум нүктесі болатынын байқау қиын емес.

Яғни, белгісіз параметрінің нүктелік бағасы ретінде * шамасын алуға болады.

3 – мысал. Мына

f(x)= e , (- )

қалыпты үлестірімнің белгісіз және параметрлерінің нүктелік бағаларын табыңыз.

Шешуі: шындыққа ұқсас функция

L(х ,х х , )= e (20)

болады, мұндағы х ,х , х – таңдамадағы варианталар.

Енді In L функциясын табайық.

In L = -nIn - n In - (21)

Интервалдық бағалау

Жоғарыдағы Ө параметрі жататындай () интервалын белгілі бір сенімділікпен айқындау керек. Интервалдық бағалау дегенді түсіну үшін сол бағаның дәлдігін және де сенімділігін білуге тура келеді, яғни (Ө*-, Ө*+) интервалын =p(/Ө-ө*/<) сенімділігімен алынған сенімділік интервалы деп атайды, мұндағы -бағының дәлдігі.

Қалыпты үлестіріммен берілген сандық сипаты белгілі Х шаманың белгісіз  математикалық күтуін арқылы  сенімділікпен анықтайық:

а) Егер -бас орташа квадраттық ауытқу белгілі болса, онда

(1)

t-ны -ге тең болатындай сан, оны Лаплас функциясының мәндер кестесін атаймыз.

Егер -белгісіз болса онда

(2)

мұндағы S –түзетілген таңдамалық орташа квадраттық ауытқуы , -шамасы кестеден анықталады.

Қалыпты үлестіріммен берілген Х-тің бас орташа квадраттық ауытқуы -ны берілген  сенімділігімен бағалау үшін мынадай

S(1-g)< <S(1+g), егер g<1

0<<S(1+g), егер g>1

сенімділік интервалын аламыз.

Мұндағы g=g(n, )- кестеден анықталады.

1-мысал. Егер =5 =17 n=25 табылса, онда математикалық күтуін =0.99 сенімділігімен бағалайтын интервалды анықтау керек.

Шешуі.: (1) формуланы пайдаланайық.

Егер онда кестеден t=2.57, яғни 17-2.57 <

Осыдан 14.43<<19.57 сенімділік интервалы.

2-мысал. Көлемі n=25 болатын түзетілген орташа квадраттық ауытқу SS=0.8, n=25 болса6 кестеден пһ0,32 олай болса (25) формуланы пайдалана отырып 0.8(1-0.32)< <0.8(1+0.32) немесе 0.544<1.056 дәлдікті анықтайтын сенімділік интегралын табамыз.

Айталық физикалық шама бір құралмен к рет өлшенсін. Өлшеулердің кездейсоқ қателерінің түзетілген орташа квадраттық ауытқуы -ға тең. Ол үшін құралдың дәлдігін  сенімділігін табалық. Ол үшін Құралдың дәлдігі өлшеуде жіберілген кездейсоқ қателердің бас орташа квадраттық ауытқуымен сипатталады, яғни бізге -ны бағалайтын сенімділік интервалын табу керек болады, яғни дербес жағдайда , =0.999, n=10, S=0.16 болса, кестеден g=1.80>1 болатынын табамыз, ал (26) формула бойынша 0<<0.16(1+1.8) 0<<0.498

Демек -параметірін бағалау үшін S «түзетілген» орташа квадраттық ауытқу пайдаланған. Өлшеулердің нәтижесінен алынған шамалар өзара тәуелсіз және олардың математикалық күтулері, дисперсиялары бірдей болғандықтан, жоғарыдағы (25), (26) формулалар өлшеудің дәлдігінің бағасын алу үшін қолданылады.