6.4. Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема

Динамиканың көптеген есептерін шешу кезінде ҚДТ-н интегралдаудың орнына динамиканың жалпы теоремаларын қолданған тиімділеу болады.

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасын қарастырайық. МН-нің қозғалыс мөлшері деп нүктенің массасы мен оның жылдамдығының   көбейтіндісіне тең шаманы айтады.  векторы нүктенің траекториясына жанама бағытталады.

Күштің элементар импульсі деп күштің элементар уақыт аралығына көбейтіндісін атайды

                                                             (6.13)

Импульс күштің әсер ету сызығы бойымен бағытталады.   күшінің шекті t₁ уақыт ішіндегі   импульсі

                .                                                          (6.14)

Импульстің модулі мен бағытын оның проекциялары арқылы табуға болады

.                                (6.15)

Динамиканың негізгі теңдеуін келесі түрде жазуға болады             

                   .                                                         (6.16)

Бұл дифференциалдық түрдегі нүктенің қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теоремасы: нүктенің қозғалыс мөлшерінің уақыт бойынша туындысы нүктеге түсетін күштердің векторлық қосындысына тең.  Шекті түрде сол теорема осылай болады: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір уақыт аралығында өзгеруі оған түсетін күштердің сол уақыт аралықтағы импульстерінің векторлық қосындысына тең

.                                                                   (6.17)

Есептерді шешу кезінде әдетте теңдеулердің проекциялары қолданылады.

6.5 Нүктенің қозғалыс мөлшері моментінің өзгеруі туралы теорема

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір О центріне қатысты моменті деп келесі теңдікпен анықталатын  векторлық шамасын айтады

                                                      (6.18)

мұндағы   - қозғалыстағы нүктенің О центрінен жүргізілген радиус-векторы.

Сонда   векторы   және О центрі арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр бағытталады, aл модулі  .

Нүктенің қозғалыс мөлшерінің О центрінен өтетін  Оz өсіне қатысты моменті    векторының сол өске проекциясына тең

                                    (6.19)

мұндағы   -  векторы мен Оz өсі арасындағы бұрыш.

Теорема: нүктенің қозғалыс мөлшерінің кейбір қозғалмайтын центрге қатысты алынған моментінің уақыт бойынша туындысы әсер ететін күштің сол центрге қатысты моментіне тең

.                                               (6.20)

Өске қатысты моменттер теоремасы

.                                              (6.21)

(6.20) теңдеуінен   болса,  болатыны шығады.

6.6 Күштің жұмысы. Күштің қуаты. Нүктенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

М   нүктесіне түсетін  күшінің (6.1 сурет) элементар жұмысы деп, келесі скаляр шаманы айтады

dW = F_ ∙ds                                             (6.22)

мұндағы F_ -  күшінің М нүктесінің траекториясына нүктенің орын ауыстыру бағытымен жүргізілген М  жанамасына проекциясы;

ds - М  нүктенің элементар орын ауыстыруының модулі.

ds=|d | болғандықтан (мұндағы d - нүктенің элементар орын ауыстыру векторы), (6.22) теңдігін келесі түрде жазуға болады

dW=  .                                                           (6.23)

Сонымен,  күштің элементар жұмысы күштің оның түсу нүктесінің орын ауыстыру векторына скаляр  көбейтіндісіне тең.   

Күштің шекті M₀M₁ орын ауыстыруында (6.1 сурет) жұмысы төмендегідей анықталады

,                                                (6.24)

  .                             ( 6.25)

Күштің қуаты деп күштің уақыт бірлігінде жасайтын жұмысына тең шаманы айтады. Егер жұмыс бірқалыпты жасалатын болса, онда қуат P = W/t₁ (мұнда t₁ – W жұмысы жасалатын уақыт аралығы). Жалпы жағдайда

,                                   (6.26)

яғни қуат күштің жанама құраушысының жылдамдыққа көбейтіндісіне тең.

Нүктенің кинетикалық энер­гиясы (КЭ) деп   тең скаляр шаманы айтады. Теорема: нүктенің КЭ оның кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі нүктеге түсетін барлық күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының алгебралық қосындысына тең

.                                     (6.26)