15 Дәріс. Көлденең қималардың геометриялық сипаттамалары. Иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары

Дәрістің мазмұны:жазық фигуралардың статикалық моменттері, ауырлық центрі, инерция моменттері, бас инерция өстері мен бас инерция моменттері; иілу кезіндегі ішкі күштер факторлары.

Дәрістің мақсаты:сырық көлденең қималарының иілу теориясында қолданылатын геометриялық сипаттамаларын игеру; июші моменттер мен көлденең күштердің эпюрлерін тұрғызу ерекшеліктерін игеру.

15.1 Жазық фигуралардың статикалық моменттері мен оның ауырлық центрі

К ейбір жазық фигураныx,yкоординат жүйесінде қарастырайық (15.1 сурет). Келесі интег-ралдар 

         ,               (  15.1)

фигураның сәйкесxжәнеyөстеріне қатысты ста-тикалық моменттері деп аталады.

Координаттық өстерді параллель орын ауыс-тырса, қиманың статикалық моменттері қалай өзге-ретінін анықтайық (15.2 сурет). x₂ = x₁ - a; y₂ = y₁ – bболатыны анық.

 Сонда

,

.

         аменbшамаларын, мен  стати-калық моменттері нөлге тең болатындай, таңдап алуға болады (тек бір ғана ретімен). Центрлік өс деп оған қатысты статикалық момент нөлге тең болатын өсті атайды. Центрлік өстерінің қиылысу нүктесі қиманың ауырлық центрі деп аталады.

(x₁,y₁)координат жүйесінде ауырлық центрінің координаттары осыған тең

,    .                                  (15.2)

Құрама қиманың статикалық моменті оны құраушы аймақтарының статикалық моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.

15.2 Қиманың инерция моменттері

15.1 суретке қайта оралып, келесі үш интегралды қарастырайық

         ,                                              (15.3)

,                                               (15.4)

.                                           (15.5)

Алдыңғы екі интеграл қиманың сәйкесxжәнеyөстеріне қатысты өстік инерция моменттері, ал үшіншісі  центрден тепкіш (немесе өрістік) инерция моменті деп аталады. Өстік инерция моменттері әрқашан оң шама, ал центр-ден тепкіш момент оң да, теріс та болуы мүмкін.

Координаттық өстерді параллель орын ауыстырса (15.2 сурет), инерция моменттері келесі формулаларға сәйкес өзгереді

,                                        (15.6)

,                                        (15.7)

 .                      (15.8)

Егерx₁менy₁- цен­трлік өстер болса, онда  және

,                                            (15.9)

,                                           (15.10)

   .                                   (15.11)

С онымен, өсті параллель орын ауыстырғанда, олардың біреуі центрлік өс болса, өстік инерция моменті ауданның өстер арақашықтығының квадратына көбейтінсіне тең шамаға өзгереді. Сонда параллель өстер жиыны үшін центрлік өске қатысты инерция моменті минималды мәніне ие болады. 

15.1 мысал –Тік төртбұрыштыңx₁,y₁жәнеx,y өстеріне қатысты өстік инерция моменттерін анықтау керек (15.3 сурет). 

Шешуі. ЭлементарdAауданы ретіндеbенімен жәнеdyбиікті-гімен тік төртбұрышты алайық. Сонда

.

            (15.9) формуласы бойынша

.                                   (15.12)

Дәл солай келесіні анықтаймыз ,  . Мұндаxпенy симмет-риялық өстері болғандықтан, сәйкес центрден тепкіш инерция моменті нөлге тең , ал x₁менy₁өстеріне қатысты .

Құрама қиманың инерция моменті оны құраушы аймақтарының инерция моменттерінің қосындысына тең екенін айтып өтейік.