7.4 Қозғалыс мөлшерлерінің бас моментінің өзгеруі туралы теорема

Берілген О центріне қатысты жүйенің қозғалыс мөлшерлерінің бас моменті (ЖҚМБМ) немесе кинетикалық моменті деп жүйенің барлық нүктелерінің қозғалыс мөлшерлерінің сол центрге қатысты моменттерінің векторлық қосындысына тең  шамасы аталады

.                                       (7.24)

Дәл солай координаттық өстерге қатысты қарастырамыз

,      ,     .    (7.25)

ЖҚМБМ-нің өзгеруі туралы теорема (моменттер теоремасы): кейбір қозғалмайтын центрге қатысты ЖҚМБМ-нің уақыт бойынша туындысы жүйенің барлық күштерінің сол центрге қатысты моменттерінің қосындысына тең

.                                     (7.26)

Қозғалмайтын Охyz өстеріне проекциялап, проекциялардағы теореманы аламыз.

Теорема дененің айналмалы қозғалысын және жүйенің жалпы жағдайда қозғалысын зерттеу үшін қолданылады, өйткені жалпы жағдайдағы қозғалыс ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстардан тұрады. Егер полюс ретінде массалар центрі алынса, онда қозғалыстың ілгерілемелі бөлігін массалар центрі қозғалысы туралы теоремасын, ал айналмалы бөлігін моменттер теоремасы қолдануымен зерттеуге болады. Сонда алдын ала белгісіз ішкі күштер қарастырылмайды.

Денемен бірге ілгерілемелі қозғалатын координаттар жүйесі үшін оның центріне қатысты моменттер теоремасы орын алады. Сонда теореманың түрі  қозғалмайтын центрге қатысты теоремасымен бірдей болады. Сондай жүйенің өстеріне де қатысты моменттері үшін осыған ұқсас теңдеулер шығады.

Теореманың салдары (ЖҚМБМ-нің сақталу заңы): ішкі күштер ЖҚМБМ-н өзгертпейді. Сонда жүйе өзгермейтін жүйе болса, ол тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналады, ал өзгеретін болса, онда ішкі (немесе сыртқы) күштер әсерінен жүйе нүктелерінің өстен қашықтығы өзгеруі мүмкін, ал одан жүйенің бұрыштық жылдамдығының өзгерісі болады.

7.5 Жүйенің кинетикалық энергиясының өзгеруі туралы теорема

Жүйенің кинетикалық энергиясы (КЭ) деп келесі скаляр шаманы атайды

.                                          (7.27)

КЭ жүйенің ілгерілемелі де, айналмалы да қозғалыстарын сипаттайды. Т шамасының   мен   шамаларынан айырмашылығы КЭ әрқашан оң скаляр шама болып келеді, ол жүйе бөліктері қозғалыстырының бағыттарына тәуелсіз және олардың өзгерісін сипаттамайды. Ішкі күштер жүйе бөліктеріне қарама-қарсы бағыттармен әсер етеді, сондықтан олар   мен  векторлық шамаларын өзгерпейді, бірақ егер ішкі күштер әсерінен жүйе нүктелерінің жылдамдықтарының модульдері  өзгеретін болса, онда Т шамасы да өзгереді.  Сонымен, T шамасының   мен   шамаларынан тағы бір айырмашылығы -оның өзгеруіне сыртқы күштер де, ішкі күштер де әсерін тигізеді. Дененің КЭ-сы қозғалыстың дербес жағдайларында төмендегідей анықталады:

а) ілгерілемелі қозғалыста

                                                ,                                               (7.28)      

б) айналмалы қозғалыста

,                                                 (7.29)      

в) жазық параллель қозғалыста

.                                (7.30)      

Дифферен­циалдық түрдегі жүйенің КЭ-сы өзгеруі туралы теорема

.                                     (7.31)

Интегралдық түрдегі теорема: жүйенің КЭ-сы кейбір орын ауыстыру кезіндегі өзгерісі жүйеге түсірілген барлық сыртқы және ішкі күштердің сол орын ауыстырудағы жұмыстарының қосындысына тең

.                                    (7.32)