7.6. Зонная теория твердого тела

7.6.1. Стационарное уравнение Шредингера

Для простоты сначала рассмотрим одномерную задачу. Если полная энергия электронов сохраняется (Е = const), то уравнение Шредингера

(7.9)

Последнее уравнение представляет собой задачу на собственные значения оператора энергии (гамильтониана)

(7.10)

где энергия — это собственное значение, а волновая функции — собственная функция гамильтониана.

В свободном пространстве потенциальная энергия равна нулю , и уравнение Шредингера принимает простой вид:

(7.11)

с собственными функциями и собственным значением, в том смысле, что подставляя такие собственные функции в (7.11), мы получаем собственные значения в форме закона дисперсии [5,6,20]:

(7.12)

Общее решение уравнения Шредингера в свободном пространстве имеет вид

(7.13)

где два слагаемых интерпретируются как описывающие частицу с одной энергией, но с противоположными направлениями импульса (первое слагаемое соответствует волне, бегущей вправо, а второе — волне, бегущей влево). Если , то волновая функция (7.13) описывает стоячую волну.

Важно отметить, что в квантовой механике любая линейная суперпозиция волновых функций

(7.14)

может описывать какую−то физическую ситуацию (принцип суперпозиции), а выбор базисного набора собственных функций определяется характером физической системы и соображениями удобства.

7.6.2. Электрон в бесконечно глубокой потенциальной яме

Для бесконечного пространства энергия (7.12) и волновой вектор являются непрерывной функцией. Это означает, что энергия и импульс (по направлению и абсолютной величине) могут принимать любые значения. Математически такая ситуация возникает из−за того, что формально бесконечное пространство не накладывает на решение граничных условий.

Электрон в твердом теле можно грубо представить как объект, находящийся в трехмерной потенциальной яме с глубиной порядка работы выхода (обычно, несколько эВ). Для любых наноразмерных структур ключевую роль играет наличие границ. Граничные условия, накладываемые на волновую функцию, приводят к тому, что импульс (и, соответственно, энергия) может принимать только дискретные значения, либо значения в некотором диапазоне. В этом случае говорят об эффектах размерного квантования в квантовых ямах [20].

Рассмотрим модель электрона в одномерной бесконечно глубокой яме, где при

(7.15)

Общее решение уравнения (7.1) в такой яме можно записать в виде

, (7.16)

и эта задача отличается от случая бесконечного пространства только накладываемыми граничными условиями

, 7.17)

причем строгое равенство нулю имеет место для формально бесконечной высоты или ширины потенциального барьера. Из граничных условий (7.17) очевидно, что и волновой вектор (и длина волны) может принимать только дискретные значения, определяемые условием

. (7.18)

Вспоминая определение волнового вектора, получаем, что (7.18) эквивалентно тому, что на длине ямы может умещаться только целое число полуволн

(7.19)

Тогда волновые функции и собственные значения энергии для разного значения п (квантового числа) будут иметь вид:

, (7.20)

а энергия основного состояния (т. е. состояния с минимальной энергией) электрона в яме будет соответствовать волновой функции с одной полуволной на длину ямы (n − 1) со значением в кремнии

(7.21)

где — масса электрона в пустоте.

Константу (7.20) можно определить с помощью условия нормировки волновой функции:

(7.22)

Тогда состояние электрона на n−м уровне описывается волновой функцией

, (7.23)

В трехмерном случае для потенциальной ямы с размерами L_x ∙ L_y ∙ L_z уравнение Шредингера имеет вид:

(7.24)

Волновые функции электронов трехмерной задачи с нулевыми граничными условиями записываются с помощью тройки независимых целочисленных квантовых чисел (ср. с уравнениями (7.23) и (7.20)):

, (7.25)

с квантованными значениями энергии

(7.26)

Если расстояние между ближайшими энергетическими уровнями оказывается меньше , то уровни «размываются» и размерное квантование становится несущественным. Например, кубик металла с объемом Ω = 1 мкм³ слишком велик, чтобы там было заметно влияние размерного квантования. Действительно, концентрация электронов в металлах ~ 10²³ см⁻³, и металл можно представить как потенциальную яму глубиной ~5 эВ, причем на каждом уровне находится два электрона с разными спинами. Тогда среднее расстояние между уровнями [20].