2.2. Уравнение электрического поля для изотропной среды

Характер отклика диэлектрического материала на воздействие приложенного внешнего электрического поля легче всего представить на примере плоского конденсатора. Пусть постоянная разность потенциалов приложена к пластинам такого конденсатора, находящимся на расстоянии в вакууме (рис. 2.4,а) [2, 9].

а б

Рис. 2.4. Заряды на пластинах плоского конденсатора в случае, когда между пластинами находится вакуум (а) и диэлектрик (б)

Пренебрегая краевыми эффектами (рис. 2.5), можно считать, что электрическое поле в промежутке между пластинами будет однородным:

Рис. 2.5. Электрическое поле плоского конденсатора

. (2.15)

Следует заметить, что электрическое поле имеет не только величину, но и направление, поэтому более полно характеризуется векторной величиной, обозначаемой и имеющей компоненты . В рассматриваемом случае поле должно быть направлено перпендикулярно пластинам.

Диэлектрический материал, введенный в конденсатор, увеличивает его емкость, поскольку на металлических обкладках происходит нейтрализация части зарядов, которые в противном случае участвовали бы в создании внешнего поля.

Это явление поляризации диэлектриков впервые было установлено Фарадеем. Для наглядности поляризацию можно представить как действие дипольных цепочек, которые образуются под влиянием приложенного поля

(Заряды

+

и ‒

от внешнего источника напряжения, т.е. сторонние)

и своими свободными концами связывают противоположные по знаку заряды на металлических поверхностях (рис. 2.6).

+

‒

+

‒

‒

+

+ ‒

Рис. 2.6. Дипольные цепочки в плоском конденсаторе формируют заряды на поверхностях диэлектрика, примыкающих к обкладкам конденсатора c внутренних сторон

Диэлектрик на торце, примыкающем к отрицательной металлической пластине, имеет положительные заряды, а на торце со стороны положительной пластины конденсатора имеет отрицательные заряды, подошедшие туда от внешнего источника напряжения. Знаки этих зарядов противоположны знакам свободных зарядов от внешнего источника напряжения на металлических обкладках конденсатора. Формирование на обкладках конденсатора зарядов, поступающих дополнительно от внешнего источника напряжения, называемых связанными, приводит к нейтрализации зарядов на торцах диэлектрика. Стрелки показывают направление вектора ,

Из закона Кулона следует, что плотность зарядов +σ и −σ на пластинах прямо пропорциональна величине поля, т.е.

(2.16)

Коэффициент пропорциональности называется диэлектрической проницаемостью вакуума и равен . Емкость конденсатора в вакууме на единицу площади электрода равна отношению плотности заряда к приложенному напряжению

. (2.17)

Рассмотрим два точечных заряда величиной и , жестко связанных между собой и смещенных на расстояние друг от друга. Смещение обоих зарядов будем характеризовать вектором , направленным от отрицательного заряда к положительному. Такую пару зарядов называют двойным электрическим полюсом или электрическим диполем, рис. 2.7.

Рис. 2.7. Диполь в однородном поле [11].

Найдем силу, действующую на диполь в электрическом поле, причем будем считать сначала, что поле однородно (рис. 2.7). На концы диполя действуют равные по величине силы , где − напряженность поля. Эти силы направлены в противоположные стороны и образуют пару сил. Момент М этой пары равен

), (2.18)

где α − угол между вектором и напряженностью поля Е.

Мы видим, что величина момента пары сил зависит от произведения заряда q на длину диполя . Это произведение называют моментом диполя. Момент диполя р есть вектор, равный

. (2.19)

Он направлен так же, как и , т.е. от отрицательного заряда к положительному. Единица измерения момента электрического диполя − кулон∙метр ( ).

Направление момента этой пары совпадает с направлением оси вращения диполя, т. е. перпендикулярно к р и Е [11].

Величину и направление момента пары М можно выразить одной формулой, если воспользоваться обозначениями векторной алгебры. Как известно, векторным произведением [a_*b] двух векторов а и b называют вектор, величина которого равна ), т.е. равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. Этот вектор перпендикулярен к и и направлен в сторону перемещения буравчика с правой нарезкой, вращаемого от а к . Поэтому вектор момента пары сил М, действующей на диполь, можно выразить формулой:

(2.20)

Рассмотрим конденсатор (рис.2.4, 2.6), в котором между пластинами находится интересующий нас материал. Под действием приложенного электрического поля заряды в материале (электроны и протоны) перераспределяются, поскольку положительные заряды притягиваются к отрицательному электроду и наоборот. Это явление, как уже отмечалось, называется поляризацией материала. Если материал изотропен, влияние электрического поля сведется к появлению в каждом элементарном объеме малого дипольного момента , ориентированного параллельно полю. Поляризация , таким образом, определяется как векторная величина, выражающая величину и направление электрического момента, наведенного в материале внешним полем (Когда поле невелико, величина поляризации прямо пропорциональна величине поля. В случае анизотропного материала ее направление не совпадает с направлением поля.

Каждый элемент объема поляризованного материала электрически подобен двум зарядам и , находящимся на расстоянии в направлении поля, и обладает дипольным моментом . Эти диполи складываются как стопка магнитиков, и на поверхностях, прилегающих к электродам, появляются заряды с плотностью ( ) и ( ). Используя теорему Остроградского − Гаусса, можно показать, что поле, обусловленное однородной поляризацией в материале, эквивалентно полю, возникающему при наличии заряда , распределенного на граничной поверхности, где − нормальная компонента поляризации на поверхности.

Рис. 2.8 Распределенный заряд на поверхностях диэлектрика, вектор задает направление дипольного момента.

Наличие поляризации, или связанных зарядов, означает, что на электродах конденсатора может быть запасен больший заряд и, таким образом, емкость системы возрастает. Отношение этой емкости к емкости в вакууме

(2.21)

зависит от материала и определяется величиной наведенной в нем поляризации.

Это отношение не зависит от приложенного напряжения и, следовательно, от величины электрического поля и называется диэлектрической постоянной материала. Подставляя σ из уравнения (2.16) в уравнение (2.21) и используя векторные обозначения, получаем

(2.22)

Где − электрическая восприимчивость материала.

Величина , называемая электрическим смещением D в материале, получается преобразованием уравнения (2.22):

(2.23)

Это основное уравнение электрического поля, которое выполняется в любой точке изотропной среды. Величина является абсолютной диэлектрической проницаемостью материала, а отношение ε (2.21), названное нами выше диэлектрической постоянной материала, более точно следует называть относительной диэлектрической проницаемостью (по отношению к абсолютной диэлектрической проницаемости вакуума ); в дальнейшем этот термин и будет использоваться. Поток электрического смещения начинается и заканчивается на свободных зарядах, будучи непрерывным даже на границе двух сред. Электрическое поле, напротив, испытывает разрыв на границе двух материалов из−за различия в них величины поляризации.

Влияние внешнего электрического поля заключается в индуцировании электрического диполя m на каждой отдельной молекуле, величина которого зависит от локальной напряженности электрического поля :

(2.24)

Коэффициент пропорциональности называется поляризуемостью молекулы. Для изотропных молекул, в том числе одноатомных молекул инертных газов, направление индуцированных диполей в среднем совпадает с направлением внешнего поля. (Поскольку локальное поле, как мы увидим в дальнейшем, пропорционально полному внешнему полю, . ) Полный дипольный момент единицы объема поляризация Р, зависит от числа молекул в единице объема N₀:

(2.25)

В большинстве случаев молекулы анизотропны и их поляризуемость зависит от направления внешнего поля, так что направление индуцированного диполя не совпадает с направлением внешнего поля. Говоря более строго, поляризуемость является симметричным тензором второго ранга, связывающим вектор индуцированного диполя с вектором внешнего поля [9]:

(2.26)

с основными компонентами , , и в приведении к главным осям:

. (2.27)

Тогда может рассматриваться как скалярная величина, не зависящая от направления вектора электрического поля, как в уравнении (2.23). Это утверждение теряет силу, если в материале имеется выделенное направление. В этом случае относительная диэлектрическая проницаемость оказывается тензором

(2.28)

Число компонентов тензора относительной диэлектрической проницаемости уменьшается при появлении симметрии в материале. В продольно ориентированном материале имеются две независимые компоненты, параллельная и перпендикулярная направлению ориентации ( и или и ), поскольку материал изотропен в плоскости, нормальной направлению ориентации, т.е. ).

Приведенное выше рассмотрение справедливо для линейного диэлектрика, в котором поляризация пропорциональна величине внешнего поля. В реальности, как и для большинства физических явлений, диэлектрические свойства материалов нелинейны. Отметим, что коэффициенты при членах более высоких порядков, и т. д., малы и ими обычно можно пренебречь. Однако в некоторых условиях они становятся, заметны.