7.6.6. Трансляционная симметрия зон Бриллюэна

Наиболее важной симметрией кристалла является его инвариантность под действием специальных трансляций. В добавление к такой трансляционной симметрии большинство кристаллов обладают вращательной симметрией и симметрией отражения. Оказывается, что большинство полупроводников обладают вращательной симметрией высокого порядка, что очень облегчает расчеты их энергетических зонных структур [5].

Для случая периодического потенциального поля средний потенциал обладает трехмерной периодичностью решетки кристалла, рис.7.1. Потенциал определяется конкретным видом функции , но оказывается, что независимо от этого из одного условия периодичности можно сделать важные выводы о состояниях электронов в кристалле.

Рис. 7.11. Схематическое изображение одномерно потенциала V(r) кристаллической решетки, U_a(r)– потенциал для одного атома

Если частица движется в периодическом потенциале, то в соответствии с квантовой механикой ее волновые функции могут быть выражены в форме блоховских функций. Чтобы понять, что такое блоховская функция, предположим, что уравнение Шредингера является одномерным и — периодическая функция с периодом трансляции, равным . Определим оператор трансляции как оператор, действие которого на функцию имеет вид

. (7.39)

Далее введем функцию , определенную как

(7.40)

где — периодическая функция с той же периодичностью, что и , т.е. ) для всех целочисленных n. Если определенная таким образом умножается на , она представляет собой плоскую волну, амплитуда которой промодулирована периодической функцией Функция называется блоховской функцией. Из ее определения ясно, что, когда изменяется на , изменяется следующим образом:

(7.41)

Из (7.41) следует, что является собственной функцией с собственным значением Поскольку гамильтониан инвариантен при трансляции на , коммутирует с . Таким образом, из квантовой механики следует, что собственные функции могут быть выражены так же, как собственные функции . Поэтому мы приходим к заключению, что собственная функция , , может быть выражена как сумма блоховских функций [5]:

(7.42)

где — константы. Таким образом, одноэлектронные волновые функции могут быть проиндексированы с помощью постоянных чисел k, которые являются волновыми векторами плоских волн, составляющих «скелет» блоховских функций. График зависимости энергий электронов из (7.38) от k называется электронной зонной структурой кристалла.

График зонной структуры, в которой может принимать все возможные значения, известен как широкая зонная схема [5]. Из (7.40) видно, что выбор k для индексации волновой функции не является однозначным. Как , так и , где — целое число, удовлетворяют (7.40). Это является следствием трансляционной симметрии кристалла. Поэтому другим способом выбора будет замена на где n —целое число, выбранное так, чтобы ограничить интервалом . Область −пространства, определенная интервалом называется первой зоной Бриллюэна. Более общее определение зон Бриллюэна будет дано позднее, а также может быть найдено в стандартных учебниках [21, 23, 25]. График зонной структуры, полученный в результате ограничения волнового вектора k первой зоной Бриллюэна, называется приведенной зонной схемой. В этой схеме волновые функции индексируются целочисленными n (называемыми индексами зон), а волновой вектор k ограничен первой зоной Бриллюэна.

На рис. 7.12 зонная структура «почти свободного» электрона (т.е. с потенциалом ), движущегося в одномерной решетке с постоянной решетки а, приведена для сравнения в обеих схемах. В схеме приведенной зоны зонные структуры имеют более компактный вид [5]. Кроме того, в схеме приведенных зон k сохраняется, когда электрон совершает переход из одного состояния в другое под действием трансляционно-инвариантного оператора

Рис. 7.12. Зонная структура свободной частицы в схеме широкой зоны (а) и в схеме приведенной зоны (б)

В то же время в схеме широких зон сохраняется только с точностью до величины, кратной (по модулю) . Вследствие этого в литературе почти всегда используется схема приведенных зон [5].

Полученные выше результаты для одного измерения можно легко обобщить на случай трех измерений. Трансляционная симметрия кристалла выражается в этом случае в виде набора примитивных векторов решетки: − Мы можем представить образование кристалла, взяв минимальный набор атомов (известный как базисный набор), и затем транслируя этот набор на кратные значения примитивных векторов решетки. В настоящей книге нас будут в основном интересовать кристаллические структуры алмаза и цинковой обманки, приведенные на рис. 7.13 a. В обеих кристаллических структурах базис состоит из двух атомов. Базис в алмазе состоит из двух атомов углерода, тогда как в цинковой обманке два атома базиса − цинк и сера. Решетка из точек, которая получается в результате трансляции точки на кратные величины примитивных векторов решетки, называется прямой решеткой. Прямые

Рис. 7.13. a) Кристаллическая структура алмаза и цинковой обманки ( ); 6) ГЦК решетка с набором примитивных векторов решетки; в) обратная решетка, соответствующая ГЦК решетке, показана первая зона Бриллюэна. Особые точки высокой симметрии обозначены как , а линии высокой симметрии, соединяющие некоторые из этих точек, — как Λ и Δ решетки для алмаза и цинковой обманки идентичны.

Такая структура, называемая гранецентрированной кубической (ГЦК), показана на рис. 7.2 б вместе с набором примитивных векторов решетки. В общем случае выбор последних не является однозначным. Примитивными векторами решетки, показанными на рис. 7.13,б, являются

(7.43)

где − длина самого маленького куба в ГЦК решетке. Этот минимальный куб в прямой решетке называется также элементарным кубом, или кристаллографической элементарной ячейкой.

Для заданной прямой решетки мы можем определить обратную решетку с помощью трех примитивных векторов обратной решетки: , которые связаны с векторами прямой решетки посредством соотношения

(7.44)

где представляют собой циклические перестановки трех индексов 1, 2 и 3, а является объемом примитивной ячейки. Группа точек, порожденная путем трансляции точки на кратные величины векторов обратной решетки, называется обратной решеткой. Причиной такого определения является то, что волновой вектор представляет собой точку в пространстве обратной решетки. Первую зону Бриллюэна в трех измерениях можно определить как наименьший многогранник, ограниченный плоскостями, перпендикулярно рассекающими пополам векторы обратной решетки. Легко видеть, что область соответствует определению первой зоны Бриллюэна для одного измерения.

Поскольку векторы обратной решетки получены из векторов прямой решетки с помощью формулы (7.44), симметрия зоны Бриллюэна определяется симметрией кристаллической решетки. На рис. 7.13 в показана обратная решетка, соответствующая ГЦК структуре. Принято говорить, что эти точки обратной решетки образуют объемоцентрированную кубическую (ОЦК) структуру. Примитивные векторы обратной решетки, полученные из (7.29), имеют вид

,

, (7.45)

.

(Отметим, что все векторы обратной решетки, соответствующей ГЦК структуре, имеют вид , где должны быть все четными или все нечетными.) Первая зона Бриллюэна ГЦК решетки также приведена на рис. 7.13,в [5].

На рис. 7.13 в некоторые точки высокой симметрии этой зоны Бриллюэна обозначены с помощью букв X и Г. В дальнейшем мы будем придерживаться принятых обозначений: точек и линий высокой симметрии внутри зоны Бриллюэна — греческими буквами, а точек на поверхности зоны Бриллюэна — латинскими буквами. Центр зоны Бриллюэна всегда обозначается как Г. Три направления высокой симметрии [100], [010] и [111] зоны Бриллюэна ГЦК решетки обозначаются следующим образом:

направление , (7.46)

направление , (7.47)

направление . (7.48)

Зона Бриллюэна ГЦК решетки обладает высокой симметрией. Внимательное изучение этой зоны показывает, что она не изменяется при различных вращениях, таких как вращение на 90° вокруг ребер объемоцентрированного куба на рис. 7.13,в. Кроме того, она инвариантна при отражении в определенных плоскостях, содержащих центр куба. Эти операции называются операциями симметрии зоны Бриллюэна. Симметрия зоны Бриллюэна является следствием симметрии прямой решетки и поэтому связана с симметрией кристалла. Из этой симметрии вытекает по крайней мере два важных следствия для электронной зонной структуры. Во−первых, если два волновых вектора и зоны Бриллюэна преобразуются друг в друга под действием операции симметрии зоны Бриллюэна, то электронные энергии, соответствующие этим волновым векторам, должны быть одинаковы. Точки и оси в пространстве обратной решетки, которые преобразуются друг в друга под действием операций симметрии, называются эквивалентными. Например, у зоны Бриллюэна, приведенной на рис. 7.13,в, имеется восемь гексагональных граней, содержащих в центре точку, обозначенную . Эти восемь граней, включая точку эквивалентны и могут преобразовываться друг в друга путем вращения на 90° вокруг ребер объемоцентрированного куба. Поэтому можно вычислить энергию электронов только для одной из восьми эквивалентных гексагональных граней, содержащих точку . Вторым и, вероятно, более важным следствием симметрии кристалла является возможность выразить волновые функции в такой форме, что они будут обладать определенными свойствами преобразования под действием операций симметрии кристалла. Такие волновые функции называются симметризованными. Хорошим примером симметризованных волновых функций являются волновые функции в атомах. Атомные волновые функции обычно симметризуются в соответствии с их свойствами преобразования под действием операций вращения и классифицируются как и т.д. Например, волновая функция s не изменяется при любых вращениях. Волновые функции р являются трижды вырожденными и преобразуются при вращении, как три компоненты вектора. Волновые функции d преобразуются как пять компонент симметричного тензора второго ранга со следом, равным нулю. Можно показать, что при классификации волновых функций подобным образом некоторые матричные элементы операторов оказываются равными нулю, т.е. появляются правила отбора. Аналогичным образом, волновые функции в кристаллах могут классифицироваться в соответствии с их трансформационными свойствами под действием операций симметрии кристалла, и для операторов, действующих на эти волновые функции, могут быть выведены правила отбора. Математическим инструментом для совершения этих действий является теория групп. Теории групп посвящено много прекрасных учебников (см. список литературы). Для изучения физики полупроводников хорошее владение теорией групп является желательным, но не необходимым условием. Некоторое элементарное представление о теории групп достаточно для понимания материала, приведенного в этой книге. Следующий параграф является вступлением в теорию групп. Студенты, знакомые с теорией групп, могут его пропустить.