14.1. Модель стратегического поведения в условиях конкуренции по Штакельбергу и Курно

Исходные условия [5]:

• модель дуополии, когда на рынке взаимодействуют две фирмы;

• фирмы предлагают однородный продукт;

• фирмам известна функция рыночного спроса вида

р = а – bQ,

где a, b – положительные константы,

Q – рыночный спрос, который складывается из объёмов предложения первой и второй фирм (Q = q₁ + q₂) при цене Р;

– издержки производства фирм равны;

– фирмы максимизируют прибыль.

– Первой стратегический ход делает наиболее сильная фирма – «лидер», а второй – фирма-последователь.

Прибыли дуополистов определяются как разница между выручкой и издержками каждого из них

_i = TR_i – Tc_i,

где Тс_i – издержки производства,

ТR_i – выручка фирмы;

_i – прибыль фирмы.

Кривую рыночного спроса в линейной форме можно преобра­зовать следующим образом:

В этом случае функция прибыли каждого дуополиста будет определяться как разность между выручкой, получаемой им при сложившейся рыночной цене, и затратами на производство реализуемой на рынке продукции.

Подставив уравнение цены в уравнение прибыли, мы получим функцию прибыли для каждого дуополиста:

,

Отсюда становится возможным определять изменение прибыли под влиянием его стратегических действий и при неизменном поведении конкурента.

Для того чтобы найти максимум прибыли дуополиста на рынке, необходимо полученную формулу приравнять к нулю и продифференцировать по объёму продаж:

Для определения стратегического эффекта необходимо определить коэффициент вариации. При этом следует учитывать, что последователь рассматривает уровень выпуска лидера как непредсказуемый, то есть последователь принимает решение без учёта стратегического эффекта. Он максимизирует прибыль, используя кривую реакции, полученную исходя из своей функции максимума прибыли и при неизменном поведении лидера.

Для последователя кривая реакции выглядит следующим образом:

.

Однако в отличие от последователя лидер осознаёт, что оказывает влияние на принятие его решений и поэтому учитывает реакцию последователя при решении задачи на максимум прибыли. Поскольку кривая реакции последователя известна, становится возможным определить коэффициент вариации.

При увеличении объёма продаж лидера на единицу объём продаж последователя сократится на пол-единицы. Для определения стратегического эффекта требуется умножить коэффициент вариации на производную функции прибыли фирмы лидера, взятую по объёму продаж фирмы-последователя.

.

После добавления стратегического эффекта в функцию максимума прибыли лидера она примет следующий вид (19):

Это уравнение задаёт кривую реакции фирмы-лидера, которая в результате преобразований примет вид

Исходя из системы полученных уравнений кривых реакций, можно определить равновесные уровни выпуска дуополистов по Штакельбергу.

.

Для подтверждения того, что фирмы получат максимум прибыли при этих объёмах продаж, необходимо дважды продифференцировать функцию прибыли по объёму производства фирмы.

, .

Поскольку частные производные функции прибыли второго порядка отрицательны, можно сделать вывод о том, что равновесные объёмы выпуска обеспечивают максимум прибыли как для дуополиста-лидера, так и для дуополиста-последователя.

При этом лидер получит прибыль в размере

а последователь получит прибыль в два раза меньше:

Аналогичным образом моделируется стратегическое взаимодействие в условиях количественной дуополии по Курно. Однако в отличие от модели Штакельберга в модели Курно оба дуополиста рассматривают уровень выпуска конкурента как постоянный и при данной предпосылке принимают решение об уровне своего выпуска (не учитывается стратегический эффект).

Данные модели позволяют не только моделировать стратегическое поведение дуополистов, но и, например, оценивать влияние колебания валютного курса на рыночную долю фирмы при международной конкуренции [7].

Например, пусть на рынке США имеются два производителя микросхем из Японии и США. Фирмы несут одинаковые предельные издержки (с) 10$. Рынок разделен между фирмами поровну.

Пусть происходит обесценение иены на 50 %. Поскольку рынок является долларовым, изменение курса повлечет за собой изменение предельных издержек японской фирмы. Допустим, что обесценение японской валюты составляет с/е, где е – это обменный курс иены на доллар.

50%-ное обесценение иены означает, что теперь 1 доллар равен 150 иенам. Предельные издержки японской фирмы, выраженные в долларах США, составляют теперь 1000/150 = 6,6 доллара.

Для определения новых рыночных долей фирм воспользуемся кривой реакции Курно.

.

Пусть предельные издержки японской и американской фирмы с₁ и с₂ соответственно. Обе функции реакции примут вид

Подставив первое выражение в другое вместо q₁ и применив условия равновесия , получим

Совокупный объем производства составит

.

В итоге доля рынка японской фирмы (s₁) определяется следующим образом:

.

Теперь, чтобы определить, как изменится рыночная доля под влиянием обесценения иены, подставим в формулу е.

.

Параметр а берется из функции спроса: р = а – bQ.