1.6.2. Диференціальне рівняння конвективного теплообміну

Розглянемо паралелепіпед (рис. 1.2), виділений у встановленому потоці рідини з ребрами dx, dy, dz, і припустимо, що густина рідини ρ, коефіцієнт теплопровідності λ і її теплоємність с_р є сталими, а температура t рідини змінюється вздовж граней паралелепіпеда, ω_х, ω_у, ω_z – проекції швидкості руху рідини на осі координат x, y, z відповідно.

Складемо рівняння теплового балансу паралелепіпеда, приймаючи, що все тепло, яке до нього підводиться, витрачається тільки на зміну ентальпії паралелепіпеда. Тепло переноситься тільки конвекцією і теплопровідністю.

Конвекцією вздовж осі х через грань dy dz за час dτ в паралелепіпед надходить кількість тепла

.

Через протилежну грань паралелепіпеда за цей самий час конвекцією видаляється кількість тепла

.

Різниця між теплом, яке надходить і яке виходить з паралелепіпеда за час dτ вздовж осей х, y i z, становитиме

;

.

Тоді загальна кількість тепла, що підводиться до паралелепіпеда

і після перетворень (за ρ = const divω = 0, a dx dy dz = dV)

. (1.50)

Кількість тепла, що вноситься в паралелепіпед теплопровідністю, становить

. (1.51)

Загальна кількість тепла, що підводиться в паралелепіпед конвекцією і теплопровідністю

.

Ця кількість тепла дорівнює відповідній зміні ентальпії паралелепіпеда

.

Отже

.

Після скорочення і перетворень отримаємо

(1.52)

або

, (1.52а)

де а – коефіцієнт температуропровідності.

Рівняння (1.52) є диференціальним рівнянням конвективного теплообміну Фур’є – Кірхгофа і виражає у найзагальнішому вигляді розподіл температур у рухомій рідині.

Для твердих тіл і рівняння (1.52) переходить в диференціальне рівняння теплопровідності (1.21). У разі встановленого процесу теплообміну = 0:

.

1.6.3. Теплова подібність

З рівняння (1.52) випливає, що температурне поле в рухомій рідині є функцією різних змінних, а також швидкості і густини рідини. Для практичного використання його потрібно перетворити з врахуванням умов однозначності, тобто у вигляді функції від критеріїв подібності.

У разі турбулентного руху рідини тепло безпосередньо біля твердої стінки передається теплопровідністю через пограничний шар у напрямку, перпендикуляр­ному до напрямку руху потоку:

,

де δ – товщина пограничного шару.

Кількість тепла, що переходить від стінки до ядра потоку, визначається з рівняння тепловіддачі (1.48):

.

У разі встановленого теплообміну

. (1.53)

Для подібного перетворення розділимо праву частину рівняння (1.53) на його ліву частину, замінимо δ на деякий визначальний геометричний розмір і відкинемо знаки математичних операторів. Отриманий безрозмірний комплекс величин називають критерієм Нуссельта:

, (1.54)

який є мірою співвідношення товщини пограничного шару δ і визначального геометричного розміру (для труби – її діаметр). До критерію Нуссельта входить величина α, яку здебільшого визначають в задачах з конвективного теплообміну.

Рівність критеріїв Нуссельта характеризує подібність процесів теплоперене­сення на границі між стінкою і потоком рідини.

Розглянемо умови подібності в ядрі потоку, використовуючи подібне перетворення рівняння (1.52). Ліву частину цього рівняння, що відображає вплив швидкості потоку на теплообмін, запишемо

~ .

Праву частину рівняння (1.52), що характеризує перенесення тепла теплопровідністю, також замінимо величиною

~ .

Складник , що відображає невстановлений режим теплообміну, замінимо на відношення . Усі складові рівняння (1.52) виразимо у відносних одиницях, приймаючи за масштаб кількість тепла, яка передається теплопровідністю.

Розділяючи на , отримаємо безрозмірний комплекс величин . Цей комплекс здебільшого заміняють на зворотну величину для того, щоб не оперувати з дробовими числами, і називають його критерієм Фур’є:

. (1.55)

Критерій Фур’є є аналогом критерію гомохронності Но за гідродинамічної подібності.

Рівність критеріїв Фур’є у подібних точках теплових потоків є необхідною умовою подібності невстановлених процесів теплообміну.

Розділяючи конвективну складову на , отримаємо безрозмірний комплекс величин, який називають критерієм Пекле:

, (1.56)

який є мірою співвідношення між теплом, що переноситься конвекцією і теплопровідністю, під час конвективного теплообміну.

Дотримання гідродинамічної та геометричної подібності також є необхідною умовою подібності процесів перенесення тепла, що включає рівність критеріїв Но, Re i Fr у схожих точках подібних потоків, а також постійність співвідношення основних геометричних розмірів стінки до деякого характерного розміру. Для труб характерним розміром є здебільшого їхній діаметр, може бути також довжина труби, радіус вигнутої труби тощо.

Узагальнене критеріальне рівняння конвективного теплообміну виражають функцією

. (1.57)

Враховуючи, що критерій Нуссельта є тим, що визначається, оскільки в нього входить шукана величина коефіцієнта тепловіддачі :

. (1.57а)

Критерій Пекле є добутком двох безрозмірних комплексів:

.

Безрозмірний комплекс

називається критерієм Прандтля, в який входять величини, що відображають фізичні властивості рідини, і характеризує подібність фізичних властивостей теплоносіїв в процесах конвективного теплообміну. Критерій Прандтля є мірою подібності полів температур і швидкостей.

Для крапельних рідин значення Pr знаходяться в межах 3 – 300 і значно зменшуються зі збільшенням температури, для газів вони є сталими (0,7 – 1) і залежать від атомності газів. Тому для рідин тепловий підшар є тоншим від гідродинамічного.

Враховуючи критерій Прандтля, рівняння (1.57а) запишеться так:

. (1.58)

В умовах встановленого теплообміну із рівняння вилучаються критерії Fo i Ho. У разі вимушеного руху, коли вплив сил тяжіння на гідродинаміку потоку, що віддає або сприймає тепло, є незначним, впливом критерію Fr на тепловіддачу можна знехтувати:

. (1.59)

Вид функцій (1.58) і (1.59) визначають дослідним шляхом і надають їм степеневої форми. Рівняння (1.59) під час руху потоку в трубі з діаметром d і з довжиною запишеться

; (1.60)

значення величин С, m, n, p визначають дослідним шляхом.

У разі тепловіддачі в умовах природної конвекції як визначальний критерій є також критерій Фруда, що характеризує дію сил тяжіння в подібних потоках

.

Однак під час природної конвекції швидкість визначити складно, тому доцільно критерій Фруда замінити критерієм Архімеда:

.

Величину можна замінити пропорційною до неї величиною , оскільки в умовах природної конвекції процес теплообміну відбувається внаслідок різниці густин нагрітих і холодних елементарних об’ємів рідини, а і підйомна сила визначаються температурним напором.

Критерій Грасгофа, подібно до критеріїв Ґалілея (Ga) і Архімеда (Ar), є аналогом критерію Фруда

, (1.61)

де β – коефіцієнт об’ємного розширення рідини, 1/град; Δt – різниця температур між стінкою і рідиною (або навпаки), якою визначають різницю густин рідини, град; – визначальний геометричний розмір (для труби – її діаметр, для вертикальної плоскої стінки – її висота).

Критерій Грасгофа є критерієм теплової подібності під час природної конвекції, коли рух рідини цілком обумовлений самим процесом теплообміну і є мірою співвідношення сил тертя до підйомної сили, що визначається різницею густин в різних точках неізотермічного потоку.

Для процесів тепловіддачі за природної конвекції або вільного руху рідини узагальнене рівняння тепловіддачі можна записати:

. (1.62)

Для газів , тобто його можна виключити з рівняння (1.62).