1.4.4. Рівняння теплопровідності плоскої стінки

Розглянемо передачу тепла теплопровідністю через плоску стінку (рис. 1.3), довжина і ширина якої набагато більші від її товщини; вісь х розміщена за нормаллю до поверхні стінки. На зовнішніх поверхнях стінки підтримуються постійні температури t_ст.1 і t_ст.2. Коефіцієнт теплопровідності незмінний і дорівнює λ. Процес перебігає стаціонарно . Згідно з рис. 1.3 температура змінюється в напрямку до осі х (поле одновимірне ; ).

Рис. 1.3. Передача тепла теплопровідністю через плоску стінку

Приймемо t_ст.1 > t_ст.2. Тоді з рівняння теплопровідності (1.18) отримаємо

. (1.23а)

Після першого інтегрування отримаємо

. (1.24)

Після другого інтегрування

, (1.25)

де С₁ і С₂ – константи інтегрування.

Рівняння (1.25) показує, що за товщиною стінки температура змінюється за законом прямої лінії.

Константа інтегрування визначається з таких граничних умов:

за х = 0, t = t_ст.1 і з рівняння (1.25)

t_{ст.1 =} С₂,

за ; t = t_ст.2 і рівняння (1.25) набуває вигляду

,

звідки знайдемо С₁:

.

Підставимо значення констант С₁ і С₂ в рівняння (1.25) і знайдемо

, (1.26)

після диференціювання рівняння (1.26) отримаємо:

.

Підставимо значення градієнта температури в рівняння теплопровідності (1.9) і визначимо кількість переданого тепла:

або

, (1.27)

де λ – коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки; δ – товщина стінки; t_ст1 – t_ст2 – різниця температур поверхонь стінки; F – поверхня стінки; τ – час.

Для безперервного процесу рівняння (1.27) матиме такий вигляд:

. (1.27а)

Рівняння (1.27) і (1.27а) відповідно є рівняннями теплопровідності плоскої стінки для невстановленого і встановленого процесів теплообміну.

Відношення називають тепловою провідністю, а обернену величину – термічним опором стінки. Оскільки коефіцієнт теплопровідності λ залежить від температури, то його необхідно приймати за середньої температури стінки:

.

Розглянемо передачу тепла через багатошарову стінку (рис. 1.4), яка складається з n шарів, що відрізняються один від одного товщиною і теплопровідністю.

Рис. 1.4. Передача тепла теплопровідністю через багатошарову стінку

Під час встановленого руху кількість тепла, що передається через кожний шар, є постійною і описується рівнянням:

або ;

або ;

............................................ .............................................

або .

Склавши ліві і праві частини рівнянь, отримаємо:

.

Звідки

, (1.28)

де і – порядковий номер шару; n – кількість шарів.

Рівняння (1.28) придатне для визначення теплопровідності для тіл, які мають форму безмежно довгого циліндра або кулі.

1.4.5. Рівняння теплопровідності циліндричної стінки

Розглянемо передачу тепла теплопровідністю через циліндричну стінку завдовжки L, з внутрішнім r_в і зовнішнім радіусом r_з (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Передача тепла теплопровідністю через циліндричну стінку

Температури внутрішньої і зовнішньої поверхонь стінки незмінні і дорівнюють t_ст1 і t_ст2 відповідно, тобто процес теплообміну встановлений.

Оскільки внутрішня і зовнішня поверхні не є рівними, то рівняння (1.27) в цьому разі не можна використати. Припустимо, що t_ст1 > t_ст2 і температура змінюється в радіальному напрямку. Для циліндричної стінки її поверхня в деякому перерізі, який відповідає потоковому значенню радіуса r, становить F = 2  π  r  L.

Підставляючи значення F в рівняння Фур’є (1.9), знаходимо для однови­мірного поля

,

і dδ заміняємо на dr.

.

Розділяючи змінні

,

після інтегрування отримаємо

.

Враховуючи, що :

, (1.29)

де – відношення зовнішнього діаметра циліндричної стінки до її внутрішнього діаметра; L – довжина стінки; t_ст.1 і t_ст.2 – температури внутрішньої і зовнішньої поверхонь стінки, які є постійними.

Рівняння (1.29) показує, що за товщиною циліндричної стінки температура змінюється за логарифмічним законом. Це рівняння є рівнянням теплопровідності циліндричної стінки для встановленого процесу теплообміну.

Для циліндричної стінки, що складається з n шарів, кількість тепла, яка передається теплопровідністю, становить

, (1.29а)

де і – порядковий номер шару стінки.

Рівняння (1.27) і (1.29а) для плоскої і циліндричної стінок отримані для стаціонарного (встановленого) процесу перенесення тепла теплопровідністю. Для тонких циліндричних стінок розрахунок може бути спрощений і зводиться до розрахунку плоскої стінки. Таке спрощення може існувати за умови, що відношення δ/d_в не перевищує 0,3–0,4, тобто

δ/d_в = 0,3÷0,4.