3.3 Методы принятия решений при учете неопределенности информации и нечеткости условий

А. Выбор на основании числовой информации

Задачи выбора по числовой информации в условиях риска возникают в том случае, когда с каждой рассматриваемой стратегией принятия решений V_i связано некоторое множество возможных результатов КЦФ- Q_1, Q_{2, …} Q_m с известными условными вероятностями P(Q_j/V_i). Формально модель выбора решения в условиях риска можно записать в виде матрицы z = ||z_ij||, i = ; :

Стратегия	результаты
	Q1	Q2	…	QJ	…	Qm
V1	Z11	Z12	…	Z1j	…	Z1m
V2	Z21	Z22	…	Z2j	…	Z2m
…	…	…	…	…	…	…
Vn	Zn1	Zn2	…	Znj	…	Znm

где Z_ij =f(Q_j, V_i) – полезность результата Q_j при использовании стратегии V_i.

Пусть известны условные вероятности P(Q_j / V_i ), i = ; .

Введем понятие ожидаемой полезности для каждой стратегии V_i

3.3

где М – оператор математического ожидания.

Решающее правило для определения оптимальной стратегии имеет вид

V*Arg max M{П/V } 3.4

V_i

В задачах выбора решений в условиях риска предполагается, что вероятность достижения результатов Q_j зависит только от стратегии V_i , выбранной ЛПР. Если допустить, что эта вероятность зависит не только от стратегии V_i, но и от внешней среды-(S_k), то возникают задачи выбора решений в условиях неопределенности. В данном случае неопределенность связана с тем, что ЛПР неизвестно распределение вероятностей P(S_k), с которыми внешняя среда может находиться в одном из состояний {S_k}, k = . ЛПР высказывает только определенные гипотезы относительно состояния среды, задавая субъективные вероятности .

Если бы вероятность P(S_k) была известна, то ЛПР имеет дело с задачей принятия решений в условиях риска. В этом случае выбор стратегии определяется следующим образом:

= max 3.5

Однако, в действительности, ЛПР неизвестны как состояния среды, так и распределение вероятностей P(S_k). В этом случае для выбора оптимальной стратегии используется один из четырех критериев: Вальда, Гурвица, Лапласа или Сэвиджа.

Критерий Вальда (критерий осторожного ЛПР – пессимиста) оптимизирует полезность результата в предположении, что среда находится в самом невыгодном для ЛПР состоянии. Решающее правило для выбора стратегии X* имеет вид:

(V_i, S_k),

где (V_i, S_k)= P(Q_j /V_i, S_k) 3.6

Стратегия , выбранная по критерию Вальда, дает гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.

Критерий Гурвица использует две гипотезы: H₁ – среда находится в самом невыгодном состоянии с вероятностью 1-α, H₂ – среда находится в самом выгодном состоянии с вероятностью α.

Решающее правило имеет вид :

3.7

Если α = 0, то получаем критерий Вальда («пессимиста»).

Если α = 1, то формируется решающее правило вида:

Π(V_i, S_k), 3.8

которое соответствует стратегии «оптимиста», когда ЛПР верит в максимальную удачу.

Критерий Лапласа. Если неизвестны состояния среды, то их считают равновероятными:

p(S₁) = p(S₂) = …= p(S_k) = .

Решающее правило имеет вид:

3.9

Критерий Сэвиджа (критерий минимизации сожалений). Сожаление – это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды, относительно наилучшего возможного состояния.

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние внешней среды наилучшим образом отличается от предполагаемого состояния. Решающее правило имеет вид:

. 3.10

Пример. Использование представленных критериев в условиях неопределенности для практической задачи выбора решения о применении сложной системы - СС. Матрицу полезности представим в виде:

Таблица 3.2. Данные примера

а 3.2	Нет потребности	Есть потребность
СС не использовать	U11 = 10 тыс. р.	U12 = - 100 тыс. р.
СС использовать	U21 = - 10 тыс. р.	U22 = 100 тыс.р.

Вероятности P(S₁) и P(S₂) неизвестны.

В представленном примере, расчеты по формулам 3.6 -3.10, дают вывод о возможном применении любого из критериев. Однако, в общем случае, чаще всего встречается ситуация, когда четыре различных критерия приводят к четырем разным решениям.

На практике, различные критерии приводят к выбору разных альтернатив и возникает новая проблема выбора уже не альтернатив, а критериев. Здесь возможны два подхода. Первый – разработка критериев или требований для выбора критерия. Второй – использование дополнительной информации о вероятных областях применения СС у различных пользователей, что позволит заменить принятие решений в условиях риска с единственным критерием выбора. Второй подход требует, как правило, значительных дополнительных затрат. В этом смысле, на первый взгляд, более предпочтителен первый подход. Однако, исследования Льюса и Райфы привели к отрицательному выводу о перспективности первого подхода, состоящего в рекурсивном задании не только критериев для выбора критериев, но и критериев для выбора критериев по выбору критериев и т.д. Отсюда следует вывод, что «не существует критерия выбора решения, не использующего вероятностных оценок для состояний {S_k} внешней среды (природы) и вместе с тем удовлетворяющего определенным “разумным” требованиям к “хорошему критерию”.

Следовательно, выбор критерия является творческим актом и должен производиться ЛПР на самом высоком уровне. В частности, если не допустим даже минимальный риск (безопасность людей, ответственные оборонные системы и т.д.), то лучше использовать критерий Вальда. Критерий Сэвиджа удобен, если приемлем определенный риск, но целесообразно израсходовать столько средств, для достижения цели, чтобы ЛПР потом не жалел о том, что израсходовано слишком мало средств.

В задачах выбора решений в условиях неопределенности и риска постоянно используется понятие функции полезности U (Q_j, x_i).

Б. Определение функции полезности

Рассмотрим методику оценки полезности для количественных критериев. Пусть имеется n возможных результатов стратегий оценки поведения СС, между которыми установлено отношение предпочтения V₁ V₂ … V_n. В этом случае для определения полезности используется следующая схема.

1. Определяем величину α₁ из условия:

аналогично определяем

α₂П(V₂) = П(V₃)

…

2. Приняв полезность наименее предпочтительного результата стратегии СС равной 1, находим:

= 1

…

3.11

Если некоторые из критериев не оцениваются количественно, а заданы в виде качественных характеристик, то для оценки полезности можно использовать алгоритм Р. Акофа и Р. Черчмена (Л.6), логика которого сводится к следующим операциям.

1.Упорядочивают результаты стратегий СС по убыванию предпочтительности V₁ V₂ … V_n.

2. Составляют таблицу возможных комбинаций результатов стратегий СС, достигаемых одновременно, а затем устанавливают их предпочтение относительно отдельных результатов, эту информацию о предпочтительности получают от экспертов.

3. Задают начальные оценки полезности отдельных результатов . Затем подставляют начальные оценки в последнее соотношение. Если оно сохраняет смысл, то начальные оценки не изменяются. В противном случае корректируют полезности так, чтобы удовлетворялось данное соотношение.

4. Переходят к следующему соотношению.

Процесс коррекции продолжается до тех пор, пока не образуется система оценок П^(V_i), i = которая удовлетворяет всем полученным соотношениям. Коррекцию следует производить таким образом, чтобы по возможности изменять оценки для минимального количества результатов ДПП СС.

Иногда оценка полезности должна быть получена в результате объединения n экспертных оценок различных свойств одного и того же решения. Решение этой задачи является весьма сложным и составляет одну из основных проблем квалиметрии.