В). Шкала дистанций - шд

Шкала дистанций, как и две предыдущие, имеет разные названия в разных литературных источниках, при сохранении единой логики. Она носит название шкалы дистанций, разности, интервалов. Шкала (рис.1.5В) позволяет определять разность между размерами, которые сами остаются неизвестными, так как в шкале не вводится понятия начала отсчета. В шкале вводятся соотношения между несколькими объектами, поэтому аксиоматика этих шкал достаточно сложна и не будет рассматриваться в пособии. Единственное, что нужно отметить, что оператор , обозначающий величину дистанции, в записи t₁t₂  t₃t₄ указывает, что разность t₁ – t₂ предпочтительнее, чем t₃ – t₄.

Модель теоретического сравнения размеров одной меры представлены в виде

Q_i – Q_j = Q_ij. 1.9

При этом с размером Q_j сравниваются все размеры Q_i. Представим, что имеется ранжированный ряд Q₅ Q₄ Q₃ Q₄ Q₅, порядок появления измерений не имеет значений, так как всегда их можно перенумеровать в порядке возрастания или убывания. На рис. 1.7 представлен набор пяти дистанций, в качестве Q_j выбран 3-ий размер, если бы мы выбрали Q₄, произошло бы смещение нуля вправо. То есть точка нуля выбирается произвольно. Следовательно, разность между дистанциями (интервал) может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Само понимание начала отсчета произвольно и полностью зависит от желания исследователя или постановки задачи.

Приведем несколько примеров шкалы дистанций.

1. Необходимо измерить высоту здания от основания фундамента. При этом, совершенно не важно от какого уровня вести отсчет, от уровня моря или от той отметки по высоте, на которой находится здание.

5. Расстояние по окружности между противоположными концами диаметра не зависит от начала отсчета.

6. Перепад температур не зависит от выбора разных температурных шкал:

Цельсия 100⁰ - (между таянием льда и кипением),

Реомюра 80⁰,

Фаренгейта 180⁰ ,

Кельвина – 0 отсчета равен - 273,16 ⁰.

Рис. 1.7. Пример построения шкалы дистанций.

Деление шкалы интервалов на равные части – градации, устанавливает на ней масштаб и позволяет выразить измерение в числовой мере, то есть мы измеряем число градаций укладывающихся в интервале Q_j. Для удобства измерений и повышения точности можно использовать различные градации:

• равномерная градация на основе арифметической прогрессии, когда диапазон измерений не велик,

• градация на основе геометрической прогрессии, с целью укрупнения масштаба удаленных измерений,

• градация на основе логарифмической шкалы при большом диапазоне значений и возможности линеаризации характеристик и применения принципа аддитивности,

• градации на основе вероятностных законов распределения,

• градация на основе комбинации различных СШ,

• градация на основе ряда предпочтительных чисел. В связи с важностью указанной градации, ей посвящен параграф 1.4.

На шкале интервалов определены такие действия как сложение и вычитание, то есть можно определить, на сколько один размер отличается от другого. Так на рис. 1.7.

Q₅ – Q₄ = Q₅ - Q₄,

Q₅ – Q₂ = Q₅ – (- Q₂).

Так как начало отсчета неопределенно, умножение и деление на шкале интервалов не производится.

Структурная схема средства измерения представлена на рис. 1.8.

Компаратор

Отсчетное

устройство

Q _i

Q _j

Рис.1.8. Структурная схема средства измерения

В устройстве сравнения осуществляется операция (1.9)

Q_i – Q_j = Q_ij .

К омпаратор выполняет те же функции, что и в шкале предпочтений, отличие состоит в том, что дистанция Q_j, с которой производится сравнение, устанавливается один раз. Отсчетное устройство служит для определения разности между измеряемым объектом и базовым размером Q_j. Главным элементом отсчетного устройства является градуированная шкала, осуществляющая преобразование Q_ij Q_{i г}. Цена деления шкалы называется градуировкой. При реальных измерениях на объект воздействует много факторов, учет их совместного воздействия невозможен, поэтому появляется случайное слагаемое. Пусть измеряем разницу веса m = m₁ – m₂, но на самом деле m₁ – m₂ = m – M, правая часть должна быть преобразована отсчетным устройством в масштаб принятой градуировки. Но так как, в самом преобразовании могут быть ошибки, то получим Х= m – M – Н, где Х- отдельно взятое показание средства измерения называемое отсчетом – х по шкале интервалов, а Н- аддитивно взятое случайное слагаемое, характеризующее ошибку измерения.

Если удается получить представление о законах распределения M и Н или оценить их средние значения, тогда в показание средства измерений вносится поправка . Так как поправка не является случайной, то она задает смещение m = х +  (показание + поправка). Поправка может быть положительной (например, когда часы отстают) или отрицательной (часы спешат).

В общем случае внесение в показание х поправки  обеспечивает правильность результата измерений. Достаточно вспомнить соотношение между понятием категоричности и надежности статистических оценок. Результат измерений при этом остается случайным и мы никогда не получим точечного категорического ответа, а всегда получим доверительный интервал в котором будут находиться значения. На основании объема выборки n и заданного уровня значимости (см. приложение П3) определяются верхняя и нижняя границы доверительного интервала.