Б. Графическое изображение статистических данных

По результатам первичной обработки исходной статистики (табл. П3.1) строится гистограмма, являющаяся наглядным представлением полученных исходных статистических данных. Гистограмма представляет собой графическую зависимость статистических значений в точках T = t_j. Значение функции , принимается постоянным для всего интервала , поэтому графически гистограмма имеет вид отдельных прямоугольников с основанием шириной и высотой, равной .

Гистограмма обладает рядом важных свойств:

• напоминает неизвестную искомую функцию F(t) т. е. ,

• площадь, ограниченная гистограммой, равна единице, т. е.

, П3.4

— используя гистограмму, можно определить среднестатистическое значение , которое примерно равно неизвестному значению средней наработки на отказ Т_о (т. е. математическому ожиданию случайной величины T), по формуле:

. П3.5

Гистограмма для рассмотренного примера изображена на рис. П3.1.

Так как опытное значение элемента вероятности отказа системы на интервале равно , то площадь любого прямоугольника гистограммы численно равна соответствующей величине

Рис.П3.1 Гистограмма данных примера

Величины являются приближенной статистической оценкой неизвестных вероятностей отказов соответствующих элементов. Таким образом, построив гистограмму , получим первое наглядное представление о форме неизвестной функции F(t), т. е. гистограмма помогает сделать вывод об аналитической зависимости неизвестного закона F(t). Но пока еще неизвестен вид этого закона, т. е. его аналитическая форма.

В. Выравнивание статистических графиков

Неизвестная плотность вероятности F(t) является плавной и непрерывной кривой — функцией аргумента t. Гистограмма же хотя и напоминает по форме функцию F(t), имеет вид ступенчатой ломаной кривой (рис. П3.1). Если повторить аналогичный опыт по набору новой серии подобных случайных величин Т= t_i в тех же условиях эксперимента и для такой же системы, то построенная вновь гистограмма не совпадет с ранее полученной, хотя она по-прежнему будет напоминать неизвестную плотность F(t).

Для того чтобы статистически согласовать гистограмму с плавной кривой F(t), производят статистическое выравнивание полученной ступенчатой кривой. Используя полученную гистограмму, производят соответствующий выбор некоторой функции , которая выравнивала бы гистограмму и с большой вероятностью приближалась бы по форме к неизвестной функции F(t). Другими словами, при выборе функции требуется, чтобы она по вероятности совпадала с F(t), т. е. F (t).

Статистическое выравнивание гистограммы производится в следующей последовательности:

—выбор одной из сглаживающих функций ,

• расчет неизвестных параметров для выбранной сглаживающей функции;

• расчет теоретических значений сглаживающей функции в фиксированных точках t = t_j,

• построение графика сглаживающей функции;

• качественный вывод о справедливости допущения .

При выборе сглаживающей функции стараются учесть особенности гистограммы и аналитическое выражение , которое должно быть несложным и удобным в инженерных расчетах. Полезно учитывать особенности и опыт работы системы, для которой оценивается закон F(t).

Анализируя гистограмму, изображенную на рис. П3.1, можно выбрать простую функцию в виде убывающей экспоненты, т. е.допустить, что

П3.6

При различных значениях параметров С₁ и С₂ имеется бесчисленное множество убывающих экспонент, среди которых надо выбрать только одну, обладающую свойствами плотности вероятности и особенностями полученной гистограммы. Следовательно, на выбираемую сглаживающую функцию (П3.6) необходимо наложить определенные связи (требования). Число этих связей зависит от вида функции и количества, входящих в нее неизвестных параметров.

Первая связь, которую необходимо наложить на функцию за счет соответствующего подбора констант С₁ и С₂, называется нормирующим условием. Так как должна быть плотностью вероятности и обладать нормирующим свойством, то необходимо выполнить первое условие: площадь под кривой в (t) должна быть равна единице, т. е.

П3.7

Отсюда имеем

следовательно,

C₁ = C₂ = C

Значит, при выборе выравнивающей функции в виде убывающей экспоненты необходимо потребовать в первую очередь, чтобы эта экспонента зависела только от одного неизвестного параметра, т. е.

П3.8

Пока не наложено определенное условие на константу С, можно выбрать любое значение этой константы и при этом всегда будет выполнено нормирующее условие. Однако при произвольном значении константы будет плохо согласовываться с гистограммой.

Так как статистическая величина

оценивает математическое ожидание T₀ случайной величины Т (т. е. То = М{Т}), то на выравнивающую функцию необходимо наложить вторую связь, а именно

П3.9

Реализуя это условие, получим

, П3.10

Значит, величину параметра С нельзя брать произвольной, а необходимо ее рассчитывать из соотношения

.

Рассчитав по опытным данным величину (для нашего примера Т₀ = 50 ч), окончательно полагаем, что только функция вида

П3.11

будет согласовываться с данными эксперимента и обладать свойствами неизвестной плотности вероятности F(t).

Таким образом, наложив две связи на выравнивающую функцию (запомним число связей s = 2), полагаем, что неизвестная искомая плотность вероятности F(t) имеет вид

П3.12

Задаваясь теперь любыми фиксированными значениями Т=t_j, легко рассчитать теоретические значения F(t=t_j) и сравнивать их с опытными данными F_j*. График найденной функции F(t) обычно наносят на гистограмму и производят качественную оценку степени соответствия теоретического закона F(t) с опытными данными — гистограммой.

Рассчитанные по формуле (П3.12) теоретические значения F(t) для точек t = t_j на рис. П3.1 обозначены «крестиками».

Так, например, анализируя графики гистограммы F_j* и расчетную кривую функции

F(t) =0,02е-^002t (рис. П3.1), можно сделать качественный вывод о том, что выбранная F(t) неплохо согласуется с данными эксперимента.

Для того чтобы иметь не качественную, а количественную оценку степени соответствия выбранной F(t) статистическим данным, необходимо произвести численную проверку согласия.