В. Метод строгого ранжирования

В.1 Изменение рангов от 1 до 0.

Качество информации повышается, если результат измерения представлен ранжированным рядом, имеющим смысл, если объекты экспертизы имеют одинаковую природу.

Порядок действия при этом таков:

1. Объекты располагаются в порядке их предпочтения. Место, занятое объектом называется рангом.

2. Наиболее важному объекту приписывается балл (весовой коэффициент) равный 1, всем остальным в порядке уменьшения от 1 до 0. При этом чаще всего используют обратную шкалу оценок Харрингтона, приведенную в таблице 4.7.

Таблица 4.7 Обратная шкала Харрингтона

№№ п/п	Градация	Числовое значение
1.	Очень высокая	0,8 – 1,0
2.	Высокая	0,64 – 0,8
3.	Средняя	0,37 – 0,64
4.	Низкая	0,2 – 0,37
5.	Очень низкая	0,0 – 0,2

3. Сопоставляется первый объект с совокупностью всех остальных, если он предпочтительнее, то результат измерения в баллах корректируется в сторону увеличения и наоборот.

4. Сопоставляется второй объект и так далее до последнего объекта.

5. Полученные результаты нормируют, они принимают значения от 0 до 1, а их сумма равна 1.

Тогда:

4.7

G_ij – коэффициент весомости j-го показателя в баллах i-ым экспертом.

m – число объектов;

N – количество экспертов.

Пример 4.3 Мнение пяти экспертов выражено следующим образом (табл.4.8)

Таблица 4.8. Расположение объектов

Объект эксп	1	2	3	4	5		6		7
1	Q5	Q3	Q2	Q1	Q6	Q4		Q7
2	Q5	Q3	Q2	Q6	Q4	Q1		Q7
3	Q3	Q2	Q5	Q1	Q6	Q4		Q7
4	Q5	Q3	Q2	Q1	Q4	Q6		Q7
5	Q5	Q3	Q1	Q2	Q6	Q4		Q5

Построить ранжированный ряд и определить весомость членов ряда

Решение: Q₁ = 4 + 6 + 4 + 4 + 3 = 21

Q₂ = 3 + 3 + 2 + 3 + 4 = 15

Q₃ = 2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9

Q₄ = 6 + 5 + 6 + 5 + 6 = 28

Q₅ = 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 7

Q₆ = 5 + 4 + 5 + 6 + 5 = 25

Q₇ = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

 140

Результат многократного измерения приводит к ряду:

Q₅ < Q₃ < Q₂ < Q₁ < Q₆ < Q₄ < Q₇

По формуле (4.7) рассчитаем конкретные значения коэффициентов:

q₁ = 21/140=0,15; q₂ = 15/140=0,11; q₃ = 9/140 = 0,06; q₄ = 28/140 =0,2; q₅ = 7/140 = 0,05; q₆ = 25/140 = 0,18; q₇ = 35/140 = 0,25.

Мнение экспертов можно выразить в форме таблиц попарного соответствия. При попарном соответствии достаточно одной половины таблицы вверх от диагонали. Предпочтение при этом выражается номером предпочтительного объекта. Балл или весомость рассчитываются по формуле (4.7) модифицированной в виде , где G_ij – коэффициент весомости j-го показателя i-ым экспертом; F_ij – частота предпочтения i-ым j-го объекта; С – общее число суждений одного эксперта, связанного с числом объектов:

.

Пример 4.4 Предположим для простоты, что 5 экспертов высказались о 6 объектах одинаково (как это показано в табл.4.9).

Таблица 4.9. Данные о мнениях экспертов

№ объекта	1	2	3	4	5	6
1	---	1	3	1	1	1
2		---	3	2	2	2
3			---	3	3	3
4				---	5	6
5					---	6
6						---

Определить весомость и построить ряд.

1. Частоты предпочтений.

2. Общее число суждений

3. Балл по общему мнению

(значения G_i уже нормированы и поэтому могут использоваться как q_i).

4. Ранжированный ряд

Q₃ > Q₁ > Q₂ > Q₆ > Q₅ > Q₄ .

Опыт попарного сопоставления по табл.4.9 показывает, что в силу особенностей человеческой психологии эксперты бессознательно отдают предпочтение не более важному в паре объекту, а первому. Чтобы этого избежать используют свободную часть и сопоставляют через некоторое время объекты в обратном порядке. При таком сопоставлении, называемом полным или двойным удается:

а) избежать случайных ошибок;

б) выявить экспертов, не имеющих собственного мнения или относящихся к обязанностям небрежно. Порядок расчетов остается прежним за исключением того, что

Уточнить результаты, полученные попарным сопоставлением можно методом последовательного приближения: первоначальные результаты (см.п.3 примера 4.4) рассматриваются как первое приближение. Во втором приближении они рассматриваются как коэффициенты G_i(2) суждений экспертов, новые рассматриваются как G_i(3) и так далее. Согласно теореме Перрона – Фробениуса этот процесс практически всегда сходится и нормированные результаты измерений q_i стремятся к постоянным величинам, строго отражающим соотношение между объектами при заданных исходных данных.

Пример 4.5.

В табл. 4.10 представлены результаты полного попарного сопоставления одним экспертом 5 объектов экспертизы. Причем предпочтение j-го объекта перед i-ым обозначается 2, равенство объектов 1, предпочтение i-го перед j-ым равно 0.

Найти результат 3-го приближения. При числе экспертов m необходимо переходить к методике многократного измерения.

Таблица 4.10. Попарное сопоставление одним экспертом

i j	1	2	3	4	5	Gj (1)	q1(1)	Gj (2)	q1(2)	Gj (3)	q1(3)
1	1	2	2	1	2	8	0,32	36	0,395	124	0,435
2	0	1	2	2	2	7	0,28	27	0,297	83	0,291
3	0	0	1	0	0	1	0,04	1	0,011	1	0,04
4	1	0	2	1	2	6	0,24	22	0,242	70	0,246
5	0	0	2	0	1	3	0,12	5	0,055	7	0,024
						25	=1	91

1. В первом приближении

G₁(1) = 1+2+2+1+2 = 8, G₂(1) = 7, G₃(1) = 1, G4 = 6, G₅ = 3

q₁(1) = 0,32; q₂(1) = 0,28; q₃(1) = 0,04; q₄(1) = 0,24; q₅ = 0,12

Σq₁(1) = 1

2. Второе приближение (столбец G_j (1) множится на строку).

G₁(2)=81+72+12+61+32=36,

G₂(2)=8 0+7 1+1 2+6 2+3 2=27,

G₃(2)=8 0+7 0+1 1+6 0+3 0=1,

G₄(2)=8 1+7 0+1 2+6 1+3 2=22,

G₅(2)=8 0+7 0+1 2+6 0+3 1=5,

q₁(2)=36/91=0.315; q₂=0.297; q₃=0.011; q₄=0.242; q₅=0.055.

3. Третье приближение (столбец G_j (2) множится на строку).

G₁(3)=36 1+27 2+1 2+22 1+5 2=124,

G₂=83; G₃=1; G₄=70; G₅=7.

4.Значения q_i таблицы 4.10 отличаются в каждом приближении. Первый объект подчеркивает свое превосходство, а 3-ий и 5-ый имеют всё меньшую значимость.

Метод последовательного приближения, позволяет получить строгие количественные измерения по шкале отношений, во сколько раз лучший превосходит худший. В этом случае через это отношение  предпочтение j-го перед i-ым выражается числом 1+, равноценность 1, а предпочтение i-го перед j-ым числом 1-, где

4.8

После этого попарное сопоставление производится методом последовательного приближения. Процесс уточнения q_j, продолжается, пока точность не достигнет заданной,

, 4.9

где обычно  принимают равным =0,001 если 1<1,5 и =0,01, если 5. При промежуточных значениях  выбирают промежуточные значения .

После окончания расчетов фактическое отношение значений показателей крайнего члена ранжированного ряда _ф сравнивают с исходным , если задача решена, в противном корректируется значение точности

и расчет повторяется.

В2. Значения рангов от 0 до числа рассматриваемых объектов

При этом методе разным экспертам, независимо друг от друга. предоставляется ряд объектов. Эксперт определяет ранг объекта, в зависимости от номера предпочтения. Так, лучшему объекту присваивается ранг равный единице, следующему в ряду предпочтений ранг равный двум и т.д. Предположим, что в результате работы S экспертов получены результаты оценки N объектов, сведенные в таблицу 4.11.

В последней строке таблицы выставляется сумма рангов, полученная каждым объектом, определяемая из выражения:

4.10

Таблица 4.11 Определение рангов объектов

Эксперты	Объекты
	1	2	….	N
1	r11	r12	…..	r1N
2	r21	r22	….	r2N
….	…..	……	….	….
S	rs1	rS2	….	rSN
рангов	R1	R2	….	RN

Упорядочивание объектов производится в соответствии с величиной R_i, причем на первое место ставится объект, набравший меньшую сумму R_i.

Степень согласованности мнений экспертов определяется при помощи коэффициента конкордации V. При использовании метода строгого ранжирования, когда у объектов отсутствуют равные ранги, величина коэффициента конкордации определится из выражения:

V= . 4.11

Можно показать, что при полной согласованности мнений экспертов, когда все ранжирования всех экспертов полностью совпадают, коэффициент конкордации равен единице. С другой стороны, при полном расхождении, сумма рангов объектов, будет стремиться к среднему значению:

, 4.12

а коэффициент конкордации будет стремиться к нулю и при четном S(n+1) равняться нулю. Считается, что согласованность достаточна, как только коэффициент конкордации превышает значение 0,5.

Пример 4.6. Экспертиза проведена для оценки композиции внешнего вида переносных магнитофонов, подготовленных к выпуску тремя радиозаводами. Ввиду сложности количественной оценки был применен метод строгого ранжирования. Семи экспертам независимо друг от друга были предъявлены 4 магнитофона, три вновь созданных и один лучший из выпускаемых. С целью исключения влияния недобросовестности экспертов наилучшая и наихудшая оценка суммы рангов в каждом столбце, не учитывалась. При равенстве рангов исключался только по одной наилучшей и худшей оценке (данные в кавычках). Результаты экспертизы сведены в таблице 4.12.

Таблица 4.12. Результаты экспертизы

Эксперты	Магнитофоны
	А	Б	В	Г
1	(4)	(1)	3	2
2	3	1	2	(4)
3	4	(2)	(1)	3
4	4	1	3	2
5	(1)	2	(4)	3
6	4	1	3	2
7	3	2	4	(1)
рангов	18	7	15	12

В результате обработки данных экспертизы можно сделать вывод, что магнитофон Б имеет наилучшую композицию внешнего вида, уже выпускаемый магнитофон А занимает последнее место. Чтобы подтвердить этот вывод, определим коэффициент конкордации, используя (4.11). Значение коэффициента V равно 0,62, что свидетельствует об удовлетворительной согласованности.

Рассмотренные методы обработки экспертной информации не исчерпывают всех возможностей анализа. Методы постоянно совершенствуются, причем многие из них уже поддерживаются имеющимся программным обеспечением. В заключение параграфа повторим некоторые полезные рекомендации. Единственное, что нужно иметь в виду всегда, это то, что качество многомерно и модель качества иногда приходится упрощать, что приводит к ошибкам. Кроме того, источником ошибок является неверное использование шкал, при этом необходимо иметь в виду два правила:

1. Если сравнение объектов проводится по некоторой измерительной шкале, то использовать при анализе более информативную шкалу не нужно.

2. Сравнение двух объектов по выбранной измерительной шкале невозможно, если хотя бы один показатель определен по менее информативной шкале.

Отсюда следует вывод: сравнение объектов и определение их показателей качества должно производиться по одной и той же измерительной шкале.