А. Первичная обработка исходной статистики
В соответствии с физическим определением плотности вероятности F(t) ее опытное значение F* в любой точке T = t1 рассчитывается по формуле
F(t=t1)
П3.1
где
—
число отказов, приходящихся на j-й
интервал длиною
на оси возможных значений случайной
величины Т
(интервал
накрывает точку tj).
Обычно точка tj
выбирается
в середине
.
На этапе первичной обработки исходной статистики, исходя из формулы (П3.1), необходимо определить:
минимальное (tmin) и максимальное (tmax) значения из статистического ряда полученных величин Т=ti;
длину частных интервалов группирования , на которые следует разбить весь полученный интервал R=tmax—tmin;
значения величин в каждом частном интервале ;
статистические значения элементов вероятности отказов для каждого интервала :
П3.2
опытные статистические значения F*;
заполнить таблицу результатов первичной обработки статистики.
Значения tmin, tmax берутся непосредственно из полученного статистического ряда величин ti Длина всего интервала R = tmax- tmin дает первое представление о том, что наиболее вероятное значение случайной величины Т может быть заключено между tmin, tmax, т. е. неизвестная плотность вероятности F(t) распределена примерно в этом отрезке значений случайной величины Т.
Длина интервала At может быть ориентировочно выбрана с использованием эмпирической формулы:
,
П3.3
где k — число частных интервалов .
Значение
числа k
сначала
ориентировочно оценивается по формуле
k
1
+3,3 lg
n
и обычно выбирается в пределах k
=10
30.
Подсчет количества реализаций по интервалам группирования практически осуществляется следующим образом. Заблаговременно заготовляется бланк, образец которого дан в табл.П3.1. Таблица разбивается на k колонок, представляющих собой интервалы . Пусть, например, tmax=200 ч, tmin = 1 ч, тогда значения и k целесообразно выбрать следующие:
Δt ≈ (200 -1) /( 1+3,3 lg 100) ≈ 26 ч (принимаем Δt =20 ч)
K ≈ 1+ 3,3 lg 100 ≈ ( tmax – tmin )/ Δt ≈ (200-1)/20 ≈ 10.
В каждой колонке приводится значение середины интервала
t1= tj (tj = 10; 30; 50; 70; 90; 110; 130; 150; 170; 190) либо крайние правые границы интервалов tj+ /2— (20; 40; 60; 80; 100;120; 140; 160; 180; 200). После этого рассматривается первое число из имеющегося неупорядоченного статистического ряда T=ti и определяется, к какому интервалу следует отнести это число. Например, t1 = 75 ч. В этом случае в четвертой колонке табл.П3.1 с серединой tj = 70 ч и правой границей 80 ч ставится «крестик», а число ti = 75 ч вычеркивается из ряда. Затем рассматривается второе число ряда T = t2 и заносится «крестик» в соответствующую колонку табл.П3.1 и т. д. После того, как все n = 100 чисел T=ti рассортированы по колонкам таблицы, производится подсчет чисел для каждого интервала .
Пусть
значения опытных чисел
получены такие, как в табл. П3.1 (
=31,
=
22,
=13,
=13,
затем 7, 5, 4, 2, 2 и 1). Разумеется, должно
выполняться условие:
После того, как определены величины , необходимо проверить, нет ли слишком малых значений (например, < 3 4). Так как малые значения дают недостаточную информацию об истинной закономерности распределения изучаемой случайной величины на этом интервале, то рекомендуется соседние интервалы с малым значением укрупнить в один, длина которого будет больше чем .
В
нашем примере целесообразно последние
три интервала объединить в один, длиной
'
= 3
=
60 ч с новым числом
— 5. Окончательно имеем всего k
= 8 интервалов, семь первых длиной по 20
ч и один последний длиной 60 ч.
Таблица П3.1 Экспериментальные данные примера
|
|
ΔП*1 |
ΔП*2 |
ΔП*3 |
… |
… |
… |
ΔПj |
… |
… |
ΔП |
|
Количество статистических реализаций случайной величины t по интервалам Δt |
31 X Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx |
22
Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx Xx xx |
13
X XX XX XX XX XX XX XX |
13
X XX XX XX XX XX XX XX |
7
X XX XX XX |
5
X XX XX |
4
XX XX |
2
XX |
2
XX |
1
X |
|
|
Значение середины интервалов Δt |
tj |
10 |
30 |
50 |
70 |
90 |
110 |
130 |
150 |
170 |
190 |
210 230 |
Величина интервалов |
Δt |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
20 |
Δt’=60 |
|||
Статистическое значение вероятности отказов |
ΔQ*j |
ΔQ*1 |
ΔQ*2 |
ΔQ*3 |
… |
… |
… |
ΔQ*j |
… |
… |
ΔQ*j |
|
Опытные значения плотности вероятности |
F*j |
F*1 |
F*2 |
F*3 |
… |
… |
… |
F*i |
… |
… |
F*n |
|
Теперь
рассчитываются опытные значения
элементов вероятности
и
для
всех интервалов, и результаты первичной
обработки статистики заносятся в табл.
П3.1.