3.Односторонние и двусторонние критерии

Если цель эксперимента состоит в установлении различия между двумя ГС, то знак этого не известен. На рис.П2.2 представлена эта ситуация. Когда нулевая гипотеза сформирована в виде Н₀: , то неизвестно какой из параметров имеет большее значение, тогда альтернативная гипотеза Н_А: , утверждает, что проверяемые значения относятся к разным совокупностям. Этот случай относится к понятию двустороннего критерия, так как Н_А , записанная в виде или рассматриваются как возможные исходы. Если задано строгое условие типа Н₀: или Н₀: , то такой критерий называется односторонним. Статистический критерий H_S определит ошибки первого и второго рода, как это показано на рисунке для случая А). Если сохранить значение уровня значимости неизменным, но сделать критерий двусторонним, то от хвостов распределения отсекаются площади равные (случай Б)). Видно, что при этом величина ошибки второго рода возрастает, как это представлено серой областью на рис П2.2 Б).

Рис.П2.2. Односторонний и двусторонний критерий

Значение ошибки второго рода зависит от объема выборки, от степени различия ГС ( расстояния между центрами распределений и, наконец, от мощности критерия М= . Следует запомнить, что односторонний критерий при одинаковых объемах выборки всегда мощнее двустороннего критерия!

Приведем главные правила оценки мощности критерия:

1. Критерий при заданной разнице между выборками тем мощнее, чем больше уровень значимости и объем выборки n.

2.Если различие между средними значениями двух рассматриваемых выборочных распределений велико (хвосты распределений не пересекаются, то мощность критерия равна единице.

3.Если между распределениями практически нет различия, то отклонение верной гипотезы произойдет лишь в % случаев.

Примечание: Другие сведения по понятиям математической статистики, следует искать в специальной литературе. В приложениях П3, П4 дан сквозной пример оценки неизвестной функции распределения и неизвестных параметров.

П3. Определение неизвестной функции распределения

Сущность экспериментальной оценки характеристик качества состоит в том, что на основании полученных из опыта ограниченных исходных статистических данных производится определение фактических законов или возможных значений параметров с заданной точностью и достоверностью. При наличии известных аналитических связей между различными показателями качества элементов и систем в процессе эксперимента определяют те исходные показатели, получить которые проще и дешевле.

Так, например, при экспериментальной оценке надежности радиолокационного вооружения, являющейся одним из свойств качества, исходными статистическими данными обычно являются частные или суммарные реализации времени безотказной работы, времени восстановления и число отказов, возникших (и устраненных) за суммарное время. По этим исходным данным определяются неизвестные законы и параметры безотказности, восстанавливаемости, а также обобщенные показатели надежности с заданной точностью и достоверностью. Методы решения подобных задач рассмотрим на примере оценки неизвестных законов и параметров безотказности.

Основной характеристикой случайной величины является распределение плотности вероятности. Зная его, можно рассчитать все другие необходимые показатели. Рассмотрим решение задачи экспериментального определения неизвестной плотности вероятности F(t) случайной величины Т — времени безотказной работы некоторой радиоэлектронной системы. Определение плотности вероятности F(t) можно осуществить, если в качестве исходных данных будет известен достаточно большой объем статистики - п, частных конкретных реализаций Т= t, (i= 1, 2, 3,..., п) случайной величины Т.

Исходные значения величин Т — t₁ определяются следующим образом. Фиксируется начало испытаний системы на надежность после ее включения в работу. Отмечается момент возникновения первого отказа t₁. Первая величина T = t₁ будет равна интервалу времени с момента начала работы до момента возникновения первого отказа. Возникший отказ устраняется, и работа системы вновь восстанавливается. Новая случайная величина T = t₂ равна отрезку времени от момента второго включения до момента возникновения второго отказа и т. д. Таким образом, фиксируются все интервалы T=t₁ времени безотказной работы между двумя последовательными отказами. Для более достоверного определения F (t) необходимо продолжать испытания до тех пор, пока получится достаточно большое число реализаций n (п 100). Полученный набор всех величин T = t₁ записывается в виде неупорядоченного статистического ряда (t_1,t₂,…t_i,…,t_n) или заносится в соответствующую таблицу.

Сформулируем задачу:

Дано: Набор n исходных статистических данных Т=t, (i=1, 2,...,n). Пусть n = 100.

Требуется определить аналитическую зависимость неизвестного закона F(t) — плотности вероятности случайной величины Т.

Решение. Определение неизвестного закона F(t) целесообразно производить в следующей последовательности:

A. Первичная обработка исходной статистики.

Б. Графическое изображение статистических данных.

B. Выравнивание статистических графиков.

Г. Определение критерия согласия.