Б. Сравнение двух альтернатив с коррелированными t- парами

Иногда, в целях увеличения контраста при сравнении двух альтернатив используется идея применения рассмотрения положительно коррелированных пар. Особенно это важно при рассмотрении влияния на функционирование моделируемой системы измеримых и неизмеримых параметров. Тогда контролируемые параметры выделяются в одну группу, а не контролируемые замораживаются, чтобы они не оказывали маскирующее влияние.

В качестве примера рассмотрим стартовую зарплату выпускников технических специальностей в 2000 году. Ожидается, что женщины получают зарплату ниже, чем мужчины, и этот факт необходимо проверить сравнением с помощью оценки выборки. Кроме того, необходимо учитывать такие факторы, как качество самого вуза, уровень жизни в рассматриваемом регионе, среднюю зарплату по региону, суммарный балл выпускника, принимаемые за неконтролируемые признаки. Поэтому стартовая зарплата является случайной величиной и трудно оценить влияние полового признака на фоне других неконтролируемых признаков. Один из способов избежать влияния неконтролируемых факторов, использование связных или подобранных пар. Предположим, что взята независимая выборка по женщинам выпускницам 2000 года и каждому члену выборки подбирается значение зарплаты мужчины, окончившим тот же или одинаковый по рейтингу вуз, с примерно одинаковым значением среднего балла. Таким образом, создаются связные пары, для которых заблокировано воздействие уровня жизни в регионе и средней зарплаты в регионе. При вычислении разности зарплат влияние заблокированных факторов будет нивелировано. При использовании таких связанных пар вводится положительная корреляция между членами каждой связанной пары. Главной задачей при этом является уменьшение вариабельности получаемых разностей, что позволит более качественно произвести оценку исследуемых альтернатив. Использование антитез позволяет уменьшить значение дисперсии, но при этом реализуется отрицательная корреляция членов одной генеральной совокупности. В данном случае необходимо получить положительную корреляцию пар, принадлежащих разным генеральным совокупностям.

В. Схема двухэтапной Д/Д процедуры

Выше рассмотрен выбор лучшей, из двух альтернатив, когда выбор ограничен, как в случае двух дисциплин обслуживания и трудно предложить ещё какое либо альтернативное решение. Однако, на практике таких альтернатив может быть значительно больше и всегда возникает желание найти решение близкое к оптимальному или лежащее в Парето-оптимальном множестве. Аналитическая идея двухэтапной процедуры поиска лучшей альтернативы из k существующих была доложена Дадевичем и Дадалом ( Д/Д - процедура ) в 1975 году на математическом симпозиуме в Цинцинати, а затем более подробно представлена в монографии Dudewicz E.J. Modern Mathematical Statistics, John Wiley, NY, 1988. Эта Д/Д процедура прекрасно используется при моделировании на GPSS/H (Л.7).

Рассмотрим вначале аналитическую схему Д/Д процедуры, а затем пример ИМ в случае 4-х переменных.

Рассмотрим основные шаги Д/Д процедуры.

1. Получается два и более, независимых значений, по каждой из сравниваемых альтернатив. БСВ, получаемые с одного ГСЧ в этом случае не применимы. В (Л.7) рекомендовано на первом шаге получать не менее 15 реплик. Это является первым этапом Д/Д процедуры.

2. Вычисляются различные статистики, но в обязательном порядке выборочные среднее и стандартное отклонение.

3. Для каждой альтернативы проводятся дополнительные независимые испытания, количество испытаний варьируется от типа исследуемой задачи и может меняться от альтернативы к альтернативе. Это является вторым этапом Д/Д процедуры.

4. Для каждой альтернативы по результатам этапов 1 и 2 ищутся взвешенные статистики, причём объёмы первой и второй выборки не обязательно совпадают.

5. Альтернатива с наибольшим или наименьшим (в зависимости от условий задачи ) значением статистики признаётся лучшей.

Д/Д процедура оговаривает нормальность распределения выходных значений, но, что весьма важно, не требует равенства дисперсий выходных популяций. Опишем факторы, влияющие на второй этап Д/Д процедуры, а именно определение размера второй выборки.

1. Влияние дисперсии выборки первого этапа.

Чем выше выборочная дисперсия на первом этапе, тем больше должен быть объём выборки второго этапа при прочих равных условиях. Поскольку выборочная дисперсия различных альтернатив различна, то объём выборки второго этапа для каждой альтернативы будет различным и прямо пропорциональным выборочной дисперсии первого этапа для рассматриваемой альтернативы.

2.Вероятность принятия правильного решения.

Поскольку мы имеем дело со случайными векторами в Парето-оптимальном множестве и пользуемся псевдо-случайными числами всегда существует вероятность неверного выбора. Поэтому получаемые решения должны оцениваться задаваемым уровнем доверительной вероятности от 90% и выше. При этом очевидно, что чем больше уровень задаваемой доверительной вероятности, тем больший объём выборки второго этапа необходимо выбирать.

3. Уровень безразличия

Как при любом квалиметрическом оценивании исследователю необходимо задать уровень ошибки, ниже которого все результаты будут признаваться аналогичными. Так, выходными характеристиками может быть стоимость, производительность, потери, процент брака и т.д. Если, например, задать процент брака 0,5%, то уровень безразличия позволит считать хорошими системы с выходными характеристиками 99,5% и выше. Естественно, что стремление понизить уровень безразличия будет приводить к увеличению объёма выборки. Вообще, чтобы быть точным, объём выборки второго этапа обратно пропорционален квадрату значения безразличия.

Из перечисленных факторов, очевидно, что определение объёма выборки второго этапа является достаточно сложной проблемой. Приведём основные уравнения, которые используются на втором и четвёртом шагах Д/Д процедуры, а ниже будут использованы в примере 6.1.

Пример 6.1. Рассмотрим гипотетический пример ткацкой фабрики, на которой работает какое то количество собственных станков, которые могут отказывать в процессе эксплуатации, для поддержания объёма производства и для устранения дефектов, во первых, арендуется дополнительный станок и, во вторых, имеется несколько ремонтников. В таблице 6.2 представлены значения выборочных среднего и стандартного отклонения s для x =0,1 арендуемых станков и y = 1,2 ремонтных рабочих на этапе первоначальной выборки.

Таблица 6.2 Значение статистик для 4-х альтернатив, выраженных в стоимости (в рублях).

x y		0	1
1	s	12833 1227	14140 1439
2	s	12490 242	12845 555

Среди указанных 4-х альтернатив, необходимо выбрать такую, которая приводит к минимальной стоимости за день. Данные таблицы 6.2 получены на при реализации 15 реплик для каждой из альтернатив, идея построения прослеживается в самой таблице. Полученные данные являются основой для получения размера выборки второго этапа при принятом уровне доверительной вероятности 95% и уровне безразличия 300 рублей в день. Положим, что n₀ начальный объём выборки первого этапа , N- общий объём выборки после добавления выборки второго этапа для каждой рассматриваемой альтернативы , N – n₀ - объём выборки, добавляемой на втором этапе. Тогда значение N определится из следующего выражения:

N = max {n₀ + 1,[( h₁s / d )²]} 6.1 ,

где:

s - выборочное стандартное отклонение рассматриваемой альтернативы,

d – уровень безразличия, одинаковый для всех альтернатив,

h₁ – коэффициент, зависящий от:

- размера первоначальной выборки n₀ ,

- принятого уровня доверительной вероятности P% ,

- числа рассматриваемых альтернатив k 2.

В таблице 6.3 приведены значения коэффициента h₁ с учётом всех вышеназванных факторов для восьми значений альтернатив k. (Более подробные таблицы приведены в монографии Дадевича 1988 года).

В уравнении 6.1 прямые скобки [ . ] использованы для указания, что «берётся наименьшее целое значение, которое превышает или равно m». Например, [0.05]= 1, [31.8 ] = 32 и т.д. Таким образом, в минимальном случае N больше n₀ на 1 и равняется [(h₁s/d)²], если это значение превышает n₀ + 1 . Например, если на первом этапе объём выборки принят равным 15, а [(h₁s/d)²]=31.9 , тогда объём добавляемой выборки равен 32-15 = 17, при [(h₁s/d)²]= 7.1, тогда добавляется выборка второго этапа величиной 1 и суммарная выборка = 16

Таблица 6.3 Значения коэффициента h₁ при разных факторах

P%	n 0	Количество рассматриваемых альтернатив k
		2	3	4	5	6	7	8	9
90 90 90 90	15 20 25 30	1.93 1.90 1.88 1.87	2.39 2.34 2.32 2.30	2.63 2.58 2.55 2.54	2.81 2.75 2.72 2.69	2.93 2.87 2.84 2.81	3.04 2.97 2.93 2.91	3.12 3.05 301 2.98	3.20 3.12 3.08 3.05
95 95 95 95	15 20 25 30	2.50 2.45 2.42 2.41	2.94 2.87 2.84 2.81	3.17 3.10 3.06 3.03	3.34 3.26 3.21 3.18	3.46 3.38 3.33 3.30	3.57 3.47 3.42 3.39	3.65 3.55 3.50 3.46	3.72 3.62 3.56 3.53
99 99 99 99	15 20 25 30	3.64 3.54 3.48 3.45	4.04 3.92 3.85 3.81	4.27 4.13 4.05 4.01	4.43 4.28 4.20 4.14	4.55 4.39 4.30 4.25	4.64 4.48 4.39 4.33	4.73 4.55 4.46 4.40	4.80 4.62 4.53 4.46

Используя данные таблицы 6.3, вычислим объёмы выборки для 4-х альтернатив таблицы 6.2 при P =95%, k=4 , n₀ =15, d= 300. Данные сведены в таблицу 6.4, где, числа внутри таблицы представляют значение выражения (6.1) - [(h₁s/d)²] и через / добавляемый объём выборки второго этапа N- n₀, а значения x - число арендуемых станков, а y - число ремонтников.

Таблица 6.4 . Объём выборки второго этапа

Номер альтернативы	1	2	3	4
Комбинация x,y	0,1	1,1	0,2	1,2
Значения [(h1s/d)2] / N- n0	158.12 / 144	217.4 / 203	6.16 / 1	32.34 / 18
Среднее значение стоимости по 2-му этапу ( р.)	13120	14235	12160	12920

Как видно из таблицы, объём выборки второго этапа варьируется от 1 до 203 в зависимости от стандартного отклонения выборки первого этапа. Объём выборки второго этапа может быть уменьшен при уменьшении значения доверительной вероятности и/или увеличении уровня безразличия. После проведения испытаний с увеличенным объёмом выборки подсчитывается среднее взвешенное значение (стандартное отклонение по выборке второго этапа не используется и поэтому может не рассчитываться). В последней строке таблицы 6.4 приведено среднее значение стоимости второго этапа, базирующееся на данных объёма выборки, полученных в таблице 6.4 выше.

Для каждой альтернативы, по выборкам первого и второго этапов, подсчитываются средние значения, которые затем взвешиваются и складываются . Вес W₀ для выборки первого этапа для каждой альтернативы подсчитывается на основе выражения :

6.2

а значение весового коэффициента W₁ для выборки второго этапа каждой из альтернатив определится как W₁ = 1 – W₀ .

В таблице 6.5 приведены значения весовых коэффициентов, подсчитанные из выражения (6.2) и значения средних стоимостей для каждой из альтернатив. Отметим, что для альтернативы №3 «2 механика, 0 арендованных машин» коэффициент первого этапа оказался больше единицы, что привело к отрицательному коэффициенту на втором этапе, а это именно та альтернатива, объём выборки для которой увеличился всего на единицу. С доверительной вероятностью 95% наименьшая стоимость относится как раз к этой альтернативе, которая имеет стоимость 12565 рублей в день и при заданном уровне безразличия должна быть выбрана как лучшая. Кстати, эта же альтернатива оказалась лучшей и по результатам оценки выборки первого этапа, однако этот факт совершенно не обязателен, чаще всего происходит как раз обратная ситуация, когда лучшая альтернатива на первом этапе может оказаться далеко не лучшей после добавления выборки второго этапа.

Таблица 6.5. Окончательные результаты выбора

Номер альтернативы	1	2	3	4
Комбинация x,y	0,1	1,1	0,2	1,2
Значения W0 / W1	0.116 / 0.184	0.082 / 0.918	1.243 / - 0.243	0.526 / 0.474
Взвешенная стоимость	13090	14277	12565	12878

В приложении П.5 представлен модельный файл для имитационного моделирования примера 6.1

С помощью имитационного моделирования можно решать многие задачи квалиметрического оценивания. К сожалению, эти работы только начинаются.