6.2 Пути снижения дисперсии квалиметрической оценки

Задачи получения базовых случайных величин- БСВ, векторов и функций, являющихся залогом эффективного процесса ИМ, рассмотрены в монографиях автора (Л.5,7). Стандартные вопросы длительности ИМ, оценки средних значений, оценки разности средних значений, выбора наилучшего варианта по среднему значению и дисперсии при некоррелированных входных воздействиях изучены в последней монографии автора по имитационному моделированию с помощью языка ИМ GPSS/H v.2001.(Л.7). Поэтому ниже более подробно рассмотрим метод использования встречных потоков БСВ, называемых Т.Шрайбером «методом антитез».

А.Общая идея метода антитез

При проведении процесса ИМ одним из мощных методов уменьшения дисперсии при одинаковом объёме выборки или уменьшения объёма выборки без потери точности является использование встречных или дополняющих потоков БСВ, в дальнейшем будем называть их антитезами. Теория математической статистики жёстко связывает уменьшение стандартного отклонения с объёмом выборки, так увеличение объёма выборки в 4 раза приводит лишь к двукратному уменьшению стандартного отклонения. Однако, использование антитез позволяет нарушать каноны теории. Существует ряд способов понижения дисперсии при проведении ИМ, перечислим их без проведения сравнительного анализа (заинтересованному читателю можно рекомендовать монографию И.М.Соболя Метод Монте-Карло ):

- Стратифицированная выборка, когда данные разбиваются на непересекающиеся страты, попадание средней оценки в одну из страт позволяет не рассматривать другие. Мощность оценки будет зависеть от абсолютной разности между средними значениями страт.

- Значимая выборка, когда вводится новая функция плотности, задающая большие веса значениям тех параметров, которые вносят наибольший вклад в значение выходных характеристик на основе принципа Парето 80:20 . Автор в ряде своих публикаций ( Л.5,6 ) ввёл понятие коэффициента значимости, которое с успехом применяется при аналитических расчётах и может быть полностью использовано в процессе ИМ.

- Начальная выборка, когда исследователь располагает данными пилотных прогонов, данными по испытаниям аналогичных систем и т.д. Такое моделирование называется моделированием, управляемым по предыстории.

- Комбинированная выборка, когда используются аналитические модели, например формула Литтла L= T, связывающая ожидаемое число заявок в системе (транзактов) - L со временем их пребывания в системе - T при параметре потока заявок - . Средством понижения дисперсии в данном случае является использование известных значений параметра потока.

Однако, по мнению автора самым эффективным и удобно применяемым в GPSS/H является метод антитез. Название введено Т. Шрайбером и представляется наиболее удачным из названных выше.

Рассмотрим суть метода антитез. Формируются пары реплик, и по значениям этих реплик вычисляется среднее значение пары. Вместо обычного требования независимости реплик используется отрицательная корреляция, т.е. максимально возможному значению одного члена пары соответствует минимально возможное значение, допустимое в этой серии опытов и наоборот. Проиллюстрируем эту идею на примере бросания двух игральных кубиков. Результаты представлены в таблице 6.1, в которой представлены прямые значения бросания с частотой их появления и антитезы этих прямых бросаний. Очевидно, что максимальным значением в данном примере является 12 (выпадение двух граней по 6), а минимальным является 2 (выпадение двух граней по 1) и тогда эти значения составят первую пару. Логика представления других пар аналогична.

Таблица 6.1 Пары антитез при бросании 2-х кубиков.

Прямой результат	Антитеза	Ч Частота	Среднее пар
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2	1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36	7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

В силу симметрии частота появления результатов в паре одинакова, сумма результатов в паре также одинакова, а следовательно и среднее значение пар одинаково и равняется 7. Теперь предположим, что мы хотим промоделировать бросание кубиков на ЭВМ. Можно ли заменить 10 реплик, проведением 5 реплик с использованием антитез, ответ очевиден из таблицы 6.1. Более того, можно утверждать, что в этом симметричном случае (при условии правильности кубиков) вполне достаточно проведения только одной реплики с использованием антитез! Таблица 6.1 должна привести грамотного статистика в состояние тихой ярости, статистические испытания проведены, а дисперсия равна нулю! Ведь при проведении независимых испытаний дисперсия равна 35/6 , т.е. почти 6 . Очевидно, что в реальных ситуациях, а не в таком рафинированном примере, дисперсия не может быть равна нулю по определению, так как добиться абсолютной отрицательной корреляции вряд ли удастся. Известные специалисты Лоу и Келтон, в своей классической работе по ИМ показали, что возможно снижение дисперсии на 60-65%. Очевидно, что и такого снижения вполне достаточно для практических целей, учитывая сокращение машинного времени и снижение дисперсии при одновременном уменьшении объёма необходимой выборки! Отсюда следует, что можно использовать входные данные с большей дисперсией, чем это допустимо в случае независимости членов выборки. Интересно сравнить результаты моделирования с использованием антитез с результатами использования обычного метода при независимости членов выборки. Для заданного числа реплик объём выборки с использованием антитез вдвое меньше стандартного метода. Причём машинное время на создание 20 независимых БСВ и 10 пар антитез одинаково, а сам процесс моделирования почти вдвое короче.

Однако вспомним постулаты теории математической статистики:

1. В случае малых выборок дальнейшее уменьшение выборки приводит к возрастанию t- статистики и пропорциональному расширению доверительного интервала

2. Ширина доверительного интервала обратно пропорциональна корню квадратному из размера выборки, поэтому уменьшение объёма выборки вдвое вроде бы никак не может привести к снижению дисперсии.

Рассматривая уменьшение выборки (в случае малых объёмов выборки) вдвое при использовании антитез, можно заметить, что увеличение t- статистики оказывает влияние на уменьшение дисперсии, но не такое значительное как при применении независимых членов выборки. Этот вопрос является предметом специального рассмотрения специалистов по статистике и не рассматривается в пособии, однако читатель должен сделать важный для себя вывод, что применение антитез способствует снижению дисперсии, а насколько, зависит от конкретных систем. Теперь рассмотрим идею использования антитез на примере одноканальной, однофазной СМО. Предположим, что время поступления следующего транзакта меньше среднего времени, а время обслуживания предшествующего транзакта больше среднего, тогда поступающий транзакт будет ожидать обслуживания больше среднего времени ожидания. Тогда в паре антитез для второго члена всё будет наоборот: время поступления больше среднего, время обслуживания предыдущего меньше среднего, а время ожидания становится меньше среднего. Следовательно, время ожидания больше среднего будет уравновешиваться временем ожидания меньше среднего и среднее время ожидания в паре будет близко к предсказываемому времени ожидания. В результате выборочная дисперсия таких пар уменьшается и можно рассчитывать на сужение доверительного интервала.

Б. Способ получения антитез

Задачей получения антитез является стремление получить абсолютную отрицательную корреляцию выходных значений при использовании отрицательной корреляции БСВ в интервале (0,1). Будем полагать с высокой степенью достоверности, что БСВ отрицательно коррелированны с их дополнением до 1. Получение антитез продемонстрируем на возможностях пакета ЯИМ GPSS/H (Л.5,7).

Например, дополнением для 0.25 является 0.75 , для 0.03 соответственно 0.97 и т.д. Значение, полученное с оговорённого генератора случайных чисел - ГСЧ используется как прямое значение, а затем оно же преобразуется в дополнение, чтобы использоваться в обратном потоке инверсированных чисел. Очевидно, что получение выходных значений с отрицательной корреляцией при отрицательной корреляции БСВ справедливо для симметричных функций распределения, для несимметричных же функций, к каким относится экспоненциальное распределение, коэффициент корреляции равен -0.64. Отсюда следует заключение, что выходные значения не обладают абсолютной отрицательной корреляцией даже при абсолютной отрицательной корреляции БСВ. Преобразование входных отрицательно коррелированных БСВ в выходные отрицательно коррелированные значения достаточно длительный и сложный процесс, который в пособии не рассматривается. Рассмотрим только внешние команды управления, с помощью которых GPSS/H производит получение антитез. Случайное число- антитеза получается с любого номера ГСЧ при использовании оператора управления -ОУ RMULT (Л.7), записью в одном из операндов числа со знаком минус, например

а) прямые числа RMULT 25000,50000

б) антитезы RMULT -25000,-50000

В примере заданы установки для ГСЧ1 и ГСЧ2 в случае а) и для антитез с тех же генераторов в случае б).

Необходимо подчеркнуть, что использование прямого потока БСВ и антитез должно быть обязательно согласовано, так если какое либо значение с любого ГСЧ используется для получения времени поступления транзакта в прямом потоке БСВ, то эквивалент антитеза должен использоваться для описания этого же транзакта во встречном потоке. В случае независимости реплик можно использовать один и тот же генератор для получения и времени поступления и времени обслуживания, если то же самое сделать при использовании антитез получится не синхронизированное наступление событий и задача становится не корректной. Поэтому при использовании метода антитез обязательным условием является применение разных ГСЧ для получения времени поступления и времени обслуживания. При наличии в модели нескольких операторов блоков- ОБ GENERATE и ОБ ADVANCE для каждого из них обязательно используется свой ГСЧ. Выполнение этого непременного условия позволяет осуществить синхронизацию потоков событий.

Подобное разделение ГСЧ необходимо неукоснительно соблюдать при задании встроенных в пакете законов распределения, а также задаваемых дискретных и непрерывных функций. Следует учитывать, что назначение генератора не всегда может решить все проблемы, например, представим вполне реальный случай, когда транзакт не может дожидаться в очереди и покидает систему не обслуженным. Метод антитез в этом случае может привести к появлению ошибки и такую возможность необходимо учитывать в структуре модели.

При использовании метода антитез стартовая позиция ГСЧ для прямого и обратного потока должна быть одинаковой. Однако в случае прекращаемых испытаний, число входов в систему бывает больше, чем контрольное число терминированных транзактов и таким образом, итоговое значение ГСЧ не будет являться стартовым для новой пары антитез. Решить эту проблему можно установлением стартового значения ГСЧ до начала каждой реплики, установление новых значений для каждой реплики достигается путём введения в поле операндов ОУ RMULT арифметических выражений, которые для антитез заключаются в скобки, перед которой ставится знак минус. Напомним, что при постоянстве использования ОУ RMULT после запятой операнда ставится знак ( _ ), свидетельствующий о продолжении записи, тогда при компиляции ищется следующая запись для этого же ОУ. Это объясняется и длиной записи в поле операндов, чтобы не делать строку слишком большой и оставить место для комментариев, а также с целью достижения большей наглядности записи. Составление арифметических выражений в поле операнда не оговорено какими либо правилами и зависит от опыта и предпочтений пользователя, а также от навыка написания программ в других языках программирования, поскольку правила написания арифметических выражений идентичны Фортрану, Паскалю, СИ++, Бейсику и т.п.