Дисперсійний аналіз

Під час планування досліджень, обробки й аналізу їх результатів застосовують дисперсійний аналіз. Слово «дисперсія» означає розсіювання даних досліду і розчленування загального варіювання результатів досліджень на складові. Основою дисперсійного аналізу є співвідношення двох дисперсій (дисперсії варіантів S_v² і дисперсії похибки S²), яке дає критерій F (критерій Фішера) і дозволяє мати оцінку вірогідності різниць між середніми арифметичними або загальну оцінку вірогідності досліду.

Дисперсійний аналіз дає змогу виявити сумарну дію факторів, дію кожного фактора окремо, їх взаємодію, дати правильну, незміщену оцінку похибки експерименту. Він дозволяє оцінити методику і результати досліду в цілому, встановити різницю між варіантами і результатами дослідження у повтореннях.

За допомогою дисперсійного аналізу отримують:

1) дані, які характеризують загальне розсіювання або дисперсію;

2) факторіальну дисперсію;

3) залишкову дисперсію, яка пов’язана з невідомими експериментатору випадковими неорганізованими у даному експерименті факторами.

Дисперсійний аналіз дає можливість розділити загальне варіювання експериментальних даних на складові: дію варіантів (С_v), повторень (C_p) і випадкових (основних) або залишкових варіювань (C_z).

Метою дисперсійного аналізу є розкладання загальної суми квадратів відхилень загального числа ступенів свободи на частини – компоненти, які відповідають структурі експерименту, і оцінюванні значущості дії та взаємодії досліджуваних факторів за F-критерієм. Суму квадратів розкладають на три частини: варіювання повторень C_p, варіантів С_v і випадкове C_z. Загальну мінливість і загальну кількість степенів вільності записують як:

;

.

Під час проведення дисперсійного аналізу результатів досліду з L-варіантами, які розміщені рендомізовано, і n-повтореннями послідовно вираховують суми за повторенням Р і варіантам V, загальну суму всіх спостережень N=Ln, коригуючий фактор (поправка) C_y=(Σx)²:N, загальну суму квадратів C_y=Σx²-C, суму квадратів для повторень C_p=ΣP²:L-C, суму квадратів для варіантів C_v=ΣV²:n-C, суму квадратів для похибки (залишок) C_z=C_y-C_p-C_v. Суму квадратів C_v і C_z ділять на відповідні їм степені вільності, внаслідок чого отримують два середніх квадрати (дисперсії) варіантів:

;

похибки: .

Після цього складають таблицю дисперсійного аналізу (табл. 4.6).

або – коригуючий фактор (поправка).

Таблиця 4.6

Таблиця дисперсійного аналізу

Дисперсія	Сума квадратів	Степінь вільності	Середній квадрат	Fфакт	Fтеор
Загальна Су Варіантів CV Залишок Cz (похибки)	Σх2-С ΣV2:n-C Cy-Cv	N-1 L-1 N-1	- S2V S2	- Sv2:S2 -	- За таблицею -

Оцінювання значущості досліджуваних факторів проводять порівнянням дисперсії варіантів з дисперсією похибки за критерієм . Якщо , то нульова гіпотеза Н₀:d=0 не відкидається. Між усіма вибірковими середніми немає істотних різниць. Нульова гіпотеза відкидається, якщо . НІР обчислюють з урахуванням рівня значущості. Комп’ютерні програми полегшують і прискорюють проведення статистичної обробки результатів досліджень.

Обробка аналітичних даних. Для обробки аналітичних даних відбирають зразки у не менше, як чотириразовій повторності з кожного варіанта. Визначають середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення: ,

де а – величина відхилення від середнього, n – кількість аналізів; середня похибка аналізу ; коефіцієнт варіації (%) ; точність аналізу (%) .

Визначення точності двох паралельних аналізів. Встановлюють довірчу ймовірність (0,95) і обчислюють статистичні характеристики (середній результат двох визначень, дисперсію, стандартне відхилення окремого результату, стандартне відхилення середнього результату), за таблицею Стьюдента-Фішера знаходять критерій Стьюдента (вірогідність 0,95, K=n-1, t_0.95=12,7); точність визначення (у відносних відсотках):

.

Порівняння результатів двох різних методів аналізу. Під час порівняння двох методів використовують таку схему розрахунку: наводять результати визначень x_ij i y_ij (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m) двома різними методами, n зразків, кожний з яких проаналізовано m раз. За цими даними обчислюють за формулами (1-8) такі показники: середні результати аналізів (1); їх стандартні відхилення (2); умовні середні вмісту за методом (3); середні стандартні відхилення за методом (4), за умови однорідності і дисперсій ; різниці між повторювальними парами результатів (5); середню різницю вибірки (6); похибку середньої різниці (7); і отримане значення – критерію (8).

(1); (2);

(3); (4);

(5); (6);

(7); (8);

, якщо

, якщо (9);

(10).

Значимі розходження між методами оцінюють, порівнюючи t_факт з табличним значенням Т-критичної точки t-розподілу Стьюдента за рівної значущості а=0,05 і кількості степенів вільності n-1. Якщо t_факт >T розходження між аналізами вважають значущими. Аналогічно порівнюють стандартні відхилення, які характеризують збігання результатів методів, за значеннями F-критерію (9), яке порівнюють із табличним значенням критичної точки F-розподілу Фішера (рівень значущості=0,95).