Кореляція

Вивчення живих організмів вимагає встановлення функціональних залежностей, за яких кожному значенню однієї перемінної (аргументу) відповідає одне конкретне значення іншої перемінної (функції).

Частіше зустрічаються такі співвідношення між змінними, коли кожному значенню ознаки X відповідає не одне, а багато значень ознаки Y, тобто їх розподілення. Такі зв'язки називаються стохастичними (імовірнісними) або корелятивними.

Часто зі зростанням однієї перемінної збільшується інша або зі зростанням однієї відбувається зменшення іншої. Тому такий зв'язок називають прямою, або зворотною (негативною) ко­реляцією.

Дослідження кореляції зводиться до:

1) встановлення факту залежності змін однієї ознаки від зміни іншої і визначення форми зв'язку між ними;

2) знаходження тісноти зв'язку, тобто ступеня зв'язку між зна­ченнями однієї та іншої ознаки.

Ступінь зв'язку виражають у вигляді абстрактного числа, яке за ліній­ної кореляції називають коефіцієнтом кореляції, а за криволінійної залеж­ності – кореляційним відношенням.

У разі простої кореляції досліджують зв'язок між двома ознаками, а множинної – на величину однієї результативної ознаки впливає кілька факторіальних. Кореляція між двома перемінними незалежно від інших перемінних, які варіюють одночасно з тими, що розглядаються, на­зивається простою, або загальною кореляцією.

Кореляція між двома перемінними, коли одне або більше число пе­ремінних утримується на постійному рівні, називається частковою коре­ляцією. У багатьох випадках не враховують, яка з перемінних є залеж­ною. Незалежну перемінну позначають X, а залежну перемінну – Y. Треба встановити, як тісно пов'язані дві змінні, і чи встановлена залежність є дійсною або випадковою. Для встановлення ступеня (тісноти) зв'язку між двома змінними визначають коефіцієнт кореляції, який позначають символом r.

Повна назва коефіцієнта кореляції – коефіцієнт лінійної регресії. Ні­що у визначенні коефіцієнта кореляції не вказує або не має на увазі, що зв'язок між двома перемінними є причинно-наслідковою залежністю. Коефіцієнт кореляції обчислюють за формулою:

,

або .

Коефіцієнт кореляції змінюється від -1 до +1. За r=±1 кореляція пе­ретворюється на функціональну. Якщо r=0, між х і у немає зв'язку, але криволінійна залежність може існувати.

За r<0,3 зв'язок слабкий, r=0,3..0,7 зв'язок середній, r>0,7 – зв'я­зок сильний. Додатне значення (+) r вказує на пряму (позитивну), а від'ємне (-) на обернену (негативну) кореляцію. Низький коефіцієнт кореляції не завжди визначає відсутність зв'язку, у такому випадку може мати місце кри­волінійна залежність.

Для оцінювання надійності коефіцієнта кореляції обчислюють його похиб­ку і критерій суттєвості. Похибку коефіцієнта кореляції (S_r) визначають за формулою ,

де r – коефіцієнт кореляції; n – кількість вибірок (кількість пар, за якими об­числюють коефіцієнт кореляції).

Критерій суттєвості коефіцієнта кореляції розраховують за формулою:

.

Якщо t_rфакт ≥ t_rтеор , то кореляційний зв'язок істотний, а якщо t_rфакт < t_rтеор – не істотний (t – теоретичне беруть із таблиці Стьюдента для рівня вірогідності 95, або 99% і кількості степенів вільності v=n-2).

Для малих вибірок у значеннях r, близьких до одиниці, розподіл ко­ефіцієнтів кореляції вибірок значно відрізняється від нормального. Тому для оцінювання значущості коефіцієнта кореляції в генеральній сукупності і порівняння коефіцієнтів кореляції критерій Стьюдента стає ненадійним. Щоб вийти з такого положення, Р.Фішер запропонував перетворити r на величину z, яка розподілена нормально. Для переходу від r до z і в оберненому напрямку використовують табл. 4.7.

Стандартна похибка величини z дорівнює , де n – обсяг вибірки. Критерій значущості для z і різниця z₁-z₂, а також довірчі межі величини z визначають за відношеннями:

; ;

Таблиця 4.7

Співвідношення між величинами r i z.

Десяті частки	Соті частки
	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
	Значення z
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,000 0,100 0,203 0,309 0,424 0,549 0,693 0,867 1,099 1,472	0,010 0,110 0,213 0,321 0,436 0,563 0,709 0,887 1,127 1,527	0,020 0,121 0,224 0,332 0,448 0,576 0,725 0,908 1,157 1,589	0,030 0,131 0,234 0,343 0,460 0,590 0,741 0,929 1,188 1,653	0,040 0,141 0,245 0,354 0,472 0,604 0,758 0,951 1,221 1,773	0,050 0,151 0,255 0,365 0,485 0,618 0,776 0,973 1,256 1,832	0,060 0,161 0,266 0,377 0,498 0,633 0,793 0,996 1,293 1,946	0,070 0,172 0,277 0,388 0,510 0,648 0,811 1,020 1,333 2,092	0,080 0,182 0,288 0,400 0,523 0,663 0,829 1,045 1,376 2,298	0,090 0,192 0,299 0,412 0,536 0,678 0,848 1,071 1,422 2,647

Після визначення довірчих меж зворотним перетворенням за таблицею знаходять відповідні z_макс і z_мін , величини r_макс і r_мін (табл. 4.8).

Перевірити нульову гіпотезу Н₀: r=0 можна без розрахунків критерію, а безпосередньо за табл. 5.8. У ній наведено граничні значення коефіцієн­тів кореляції на 5% і 1% рівні значущості. Між X і Y існує суттєвий зв'язок і Н₀ не відкидають, якщо r_фаkт. > r_теоо. Нульова гіпотеза відкидається тоді, коли r_факт. < r_теоо Для доведення слабких зв'язків необхідно мати 40-100, середніх – 12-40 і сильних 6-12 пар спостережень.

Під лінійною (прямолінійною) кореляційною залежністю між двома ознаками X і Y розуміють таку залежність, яка має лінійний характер і зо­бражується рівнянням прямої лінії у=а+вх, де а – вільний член; в – коефіцієнт регресії. Це рівняння називають рівнянням регресії у на х. Відповідну йому пряму лінію називають вибірковою лінією регресії у на х.

У разі лінійної кореляції зі збільшенням середнього значення однієї ознаки збільшується середнє значення іншої. Таку кореляцію називають прямою; у разі оберненої кореляції зі збільшенням середнього значення однієї ознаки зменшується середнє значення іншої.

Таблиця 4.8