9. Методика вивчення рівнянь і застосування рівнянь при розв’язуванні задач у початковій школі

Матеріал вивчається в 3-4 класах.

Спочатку вводяться поняття «рівняння», «розв'язати рівняння». Діти вчаться розв'язувати найпростіші рівняння на знаходження невідомого компонента дій додавання і віднімання, множення і ділення двома способами: підбором та на основі взаємозв'язку між результатом і компонентами цієї дії; вчаться доводити, що дане число є розв’язком рівняння.

Далі вводяться рівняння більш складної структури: рівняння, в яких у правій частині записано вираз, та рівняння, в яких один із компонентів поданий числовим виразом або виразом із змінною.

Крім того програмою передбачено складання і розв’язування рівняння за текстом простої задачі, а також ознайомлення з алгебраїчним методом розв’язування складених задач.

1. Методика ознайомлення з рівнянням

Підготовча робота

Підготовча робота починається вже з 1-го класу. Учні розв’язують приклади з «віконечками» на основі добору або на основі знання складу чисел:

5 + = 9, 8 + = 17,  + 6 = 38, 10 –  = 6.

Підготовчою роботою є також вивчення правил знаходження невідомого компонента арифметичної дії на основі залежності між компонентами і результатом арифметичних дій, а також їх застосування при розв’язуванні вправ. Це можуть бути вправи типу:

• Розглянь записи і поясни, що дістали, коли від суми відняли один з доданків:

7 + 5 = 12, 12 – 5 = 7.

• П оясни, як можна знайти невідомий доданок : + 4 = 49.

Ознайомлення з поняттям “ рівняння ” і « розв’язок (корінь) рівняння»

Ознайомлення з рівняннями ґрунтується на таких двох вправах.

Вправа 1(№ 44 – 3 клас). Порівняй і замість зірочки постав знак " > ", " < " або " = ", якщо відомо, що в усіх випадках х = 5.

13 – х = 8 х +22 * 25 х – 2 * 10

16 – х * 10 х + 5 * 10 х – 1 * 4

Після перевірки правильності виконання завдання вчитель пропонує дітям виписати в окремий рядок усі рівності і пові­домляє їм, що рівності із змінною (з невідомим ) називають рівняннями. У кожному з виписаних рівнянь невідоме дорів­нює 5.

х = 5 - розв'язок ( корінь) кожного з даних рівнянь.

Вправа 2 (№45 – 3 клас) 13 – х = 8, х + 5 = 10, х – 1 = 4 - це рівняння.

Розв'язати рівняння, означає знайти те чис­лове значення букви, при якому рівність буде правильною.

• Перевірте (усно), чи правильно розв'язані рівняння.

х + 8 = 11 20 + х = 52

х = 11 – 8 х = 52 – 20

х = 3 х = 32

Після виконання завдання вчитель повідомляє, що невідо­мий доданок у рівнянні можна знаходити добором або за правилом знаходження невідомого доданка.

Далі вчитель подає зразок міркування при розв'язуванні рівняння на знаходження невідомого доданка.

Міркування: У рівнянні х + 7 = 13 невідомий перший доданок, відомий другий доданок і сума. Щоб знайти невідо­мий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Запи­шемо рівняння так:

х+ 7 = 13

х = 13 – 7

х = 6 Перевіримо.

6 + 7 = 13

13 = 13

Відповідь: х = 6 .

Перші рівняння, з якими знайомляться діти, носять назву найпростіших. До найпростіших рівнянь відносяться рівняння на знаходження невідомих доданка, зменшуваного, від’ємника, множника, діленого та дільника , наприклад :

х – 7 = 3 6 – х = 4 х ∙ 3 = 15 х : 3 = 6 18 : х = 9

х = 3+7 х = 6-4 х = 15:3 х = 6 ∙3 х = 18:9

х = 10 х = 2 х = 5 х = 18 х = 2

10 – 7= 3 6 – 2 = 4 5 ∙3 = 15 18 : 3= 6 18 : 2 = 9

3= 3 4 = 4 15= 15 6= 6 9 = 9

Відповідь:10. Відповідь:2. Відповідь:5. Відповідь:18. Відповідь: 2.

Всі ці рівняння розв’язуються способом на підставі зв’язку між результатами та компонентами дій за допомогою пам’ятки:

Пам’ятка №1 Розв’язання рівнянь Читаю рівняння. Визначаю, що невідомо. Згадую, як знайти невідомий компонент. Виконую дії. Роблю перевірку: підставляю знайдене значення замість букви, визначаю, чи буде при цьому рівність вірною. Роблю висновок про рішення даного рівняння. Записую відповідь.

Учні також ознайомлюються з розв'язуванням найпростіших рівнянь, що потребують письмових обчислень:

Наприклад: 324 -х = 245 _324 _324 Перевірка робиться письмово

х= 324-245 245 79 у стовпчик.

х=79 79 245

324-79=245

245=245

Відповідь: 79

Закріплення

Вправи на закріплення вмінь розв’язувати рівняння можуть бути такого типу:

• розв’яжи рівняння і виконай перевірку х + 8 = 24, 24 – х = 9 ;

• виконай перевірку вже розв’язаних рівнянь, поясни помилки:

х + 5 = 12 15 – х = 6

х = 12 + 5 х = 15 – 6

х = 17 х = 9

- склади рівняння з чисел 6 і 7 і змінної х, зроби перевірку;

- з даних рівнянь розв’яжи ті, в яких невідоме знаходять «–» ( «+», «∙», «:») :

х + 17 = 49, х ∙ 5 = 45, х + 18 = 47;

- випишите рівняння, в якому невідоме дорівнює 5:

20 – х = 5, 30 : х = 5, 15 – х = 10.

- розглянь розв’язання рівняння і встав пропущену дію і т.д.

2. Методика ознайомлення з рівняннями більш складної структури

В курсі початкової школи розглядають 3 типи таких рівнянь:

1 тип – рівняння, в яких праворуч записано числовий вираз:

х + 5 = 42 – 7

2 тип - рівняння, в яких один із компонентів поданий числовим виразом:

х – (12 – 7) = 37

3 тип – рівняння, в яких невідоме входить до складу одного із компонентів:

( х – 13 ) + 40 = 65.

Підготовча робота

Підготовчою роботою є формування уміння і навичок розв'язувати найпростіші рівняння

Ознайомлення ( рівняння 1 і 2 типів)

Методика ознайомлення з рівняннями цих типів схожа, тому зупинимось на 2- ому типі рівнянь.

Учням пропонується розв’язати рівняння: 15 – х = 10. 15-х = 10

- Як називається вираз, що записаний ліворуч?(Різниця) х = 15-10

- Що невідомо?(В цьому рівнянні невідомо від’ємник). х = 5

- Як знайти невідомий від’ємник?(Щоб знайти невідомий від’ємник, 15 – 5 = 10

слід від зменшуваного відняти різницю). 10 =10

- Виконаємо дію.( х = 15-10) Відповідь: 5.

Відповідь: 5.

- Запишімо відповідь.( х = 5)

- Зробимо перевірку.( 15 – 5 = 10

10 =10

Відповідь: 5.)

- А тепер поруч з цим рівнянням запишімо інше: 15 – х = 10 ( 9 + 6 ) – х = 10

• Прочитайте це рівняння.(Якщо від суми чисел 9 та 6 відняти х , то отримаємо 10.)

• Чим схожі ці рівняння?(В обох рівняннях ліворуч записана різниця, в обох рівняннях невідомим є від’ємник. В обох рівняннях праворуч одне й те ж число – 10).

• Чим вони відрізняються?(В першому рівнянні зменшуване подано числом – 15, а в другому виражено сумою чисел 9 та 6).

• Чи можливо друге рівняння привести до вигляду першого? (Можна, якщо знайти значення виразу, який записано у зменшуваному).

• Обчисліть це( 9+6 = 15, отримаємо: 15 – х = 10).

• Це рівняння ми вже розв’язали. Який можна зробити висновок щодо розв’язання рівнянь, в яких один із компонентів поданий числовим виразом? (Це рівняння слід привести до найпростішого рівняння , якщо обчислити значення числового виразу).

Запишімо розв’язок: (9+6) – х = 10

15 - х = 10

х = 15-10

х =5

(9+6) – 5 = 10

15 - 5 = 10

10= 10

Відповідь: 5.

Ці рівняння розв’язуються за допомогою пам’ятки:

Пам’ятка №2

1. Чим відрізняється це рівняння від найпростішого? Що записано виразом?

2. Як привести його до вигляду найпростішого? Заміни вираз його числовим значенням.

3. Розв’яжи найпростіше рівняння.

4. Зроби перевірку.

Ознайомлення ( рівняння 3 типу)

Учням пропонується розв’язати рівняння:

( 51 : 3 ) – х = 9 Це рівняння відрізняється від простішого тим, що в ньому зменшуване

17 – х = 9 подано не числом, а числовим виразом: часткою чисел 51 і 3. Щоб

х = 17 – 9 його привести до вигляду простішого рівняння, треба обчислити

х = 8 значення частки цих чисел, буде 17. Отримали найпростіше рівняння:

( 51 : 3 ) – 8 = 9 17 – х = 9. Невідомий від’ємник. Щоб знайти невідомий від’ємник,

17 – 8 = 9 треба від зменшуваного відняти різницю. Маємо 8. Робимо перевірку:

9 = 9 підставляємо значення змінного у дане рівняння, повинна бути

Відповідь: 8. рівність.

• Яка дія виконувалася останньою в лівій частині? (Віднімання). Прочитайте вираз, записаний у лівій частині (Зменшуване подано часткою чисел 51 та 3, а від’ємник число х). Зменшуване тут подано числовим виразом, значення якого досить легко обчислити.

• Порівняйте це рівняння із наступним: ( 51 : х ) – 8 = 9

• Чим вони відрізняються? (Тут зменшуване не числовий вираз, а буквений, і його значення не можна обчислити не знаючи значення букви).

• Тут зменшуване – це невідомий компонент! Як знайти невідоме зменшуване? (Треба до різниці додати від’ємник). Знайдемо число, якому дорівнює невідоме зменшуване і отримаємо найпростіше рівняння.

( 51 : х ) – 8 = 9 Отже, при розв’язанні рівнянь, в яких один із компонентів буквений

51 : х = 9 + 8 вираз, треба визначити, яка дія виконується останньою, згадати назви

51 : х = 17 компонентів і до складу якого з компонентів входить змінна – це

х = 51: 17 невідомий компонент! Застосовуючи правило знаходження

х = 3 невідомого компоненту, знайти його числове значення і отримати

( 51 : 3 ) – 8 = 9 найпростіше рівняння. Розв’язавши найпростіше рівняння, знайти

17 – 8 = 9 значення змінної. І якщо, підставивши його у дане рівняння

9 = 9 отримуємо вірну числову рівність, то знайдене значення змінної буде

Відповідь: 3. розв’язком або коренем рівняння.

Пам’ятка №3.

1. Яка дія виконується останньою? Як називаються компоненти при цій дії?

2. До складу якого компоненту входить невідоме – це невідомий компонент .

3. Як знайти невідомий компонент? Знайди невідомий компонент.

4. Розв’яжи найпростіше рівняння.

5. Зроби перевірку.

3. Методика ознайомлення із застосуванням рівнянь при розв’язуванні задач

Знайомство з темою відбувається у 3 класі і продовжується в 4 класі.

У результаті вивчення теми діти повинні засвоїти, як складати і розв’язувати рівняння за текстом простої задачі на знаходження невідомого компонента арифметичної дії, а також ознайомитись із алгебраїчним методом розв’язування складених задач.

Підготовча робота

Підготовчою роботою є формування уміння і навичок розв'язувати найпростіші рівняння.

Ознайомлення ( використовуємо метод бесіди).

Для першого ознайомлення з розв'язуванням задач складанням рівнянь доцільно взяти спочатку абстрактну задачу, а потім сюжетну.

Абстрактна задача (3 клас - №48)

Невідоме число збільшили на 12 і дістали 36. Знайди невідоме число.

За цією умовою склади і розв’яжи рівняння.

Міркування:

• Про що йде мова в задачі? (В задачі говориться про невідоме число, яке збільшили на 12 і отримали 36)

• Що є шуканим в задачі? (Шуканим є число, яке невідоме).

- Позначимо невідоме число буквою, наприклад, х.

• Що означає те , що число збільшили на 12? (Це означає , що до цього числа додали 12).

• Скільки отримали в результаті додавання? (36).

• Запишіть рівність. ( х + 12 = 36).

• Що ми отримали? (Рівняння.) Розв’яжемо рівняння і дізнаємося про шукане число.

• Прочитайте рівняння. Що невідомо? (Невідомий перший доданок).

• Як знайти перший доданок? (Щоб знайти перший доданок, треба від суми відняти другий доданок).

• Виконайте дії ( х = 36 – 12, х = 24).

• Зробіть перевірку. (До 24 + 12 повинно бути 36: 24+12 = 36; таким чином отримали вірну рівність : 36=36 , тому х = 24 , є розв’язком рівняння, а значить і шуканим числом).

• Запишіть відповідь.(Відповідь: 24 – невідоме число).

Сюжетна задача

Михайлик і Андрійко знайшли 10 грибів. Михайлик знайшов 6 грибів. Скільки грибів знайшов Андрійко ?

Спочатку відбувається ознайомлення зі змістом задачі.

Далі міркуємо так:

- Позначимо кількість грибів, які знайшов Андрійко, буквою х.

- Михайлик знайшов 6 грибів, а Андрійко - х. Як записати, скільки всього грибів знайшли діти? (6 + х).

- Скільки грибів діти знайшли за умовою задачі? (10)

- Запишіть рівність ( 6 + х = 10)

- Що ми отримали? (Рівняння.) Розв’яжемо рівняння і дізнаємося кількість грибів, які знайшов Андрійко.

6 + х = 10

х = 10 – 6

х = 4

6 + 4 = 10

10=10

Відповідь: 4 гриби знайшов Андрійко.

• Отже, задачі можна розв’язувати способом складання рівнянь.

Міркувати при цьому потрібно так:

Пам'ятка №4 Розв’язування задач способом складання рівняння Прочитай задачу і уяви те, про що в ній говориться. Поясни, що позначають числа задачі. Поясни, що є шуканим - невідомим у задачі. Познач невідоме буквою, наприклад – х. Виділи зв'язки невідомого з іншими числовими даними задачі. Склади рівняння. Розв’яжи рівняння і зроби перевірку. Дай відповідь на питання задачі.

В 4-му класі вчимо учнів розв’язувати складені задачі способом складання рівняння. Для першого ознайомлення з розв'язуванням задач складанням рівнянь доцільно взяти спочатку абстрактну задачу, а потім сюжетну.

Абстрактна задача ( 4(3)клас № 1088*)

Невідоме число збільшили у 3 рази. Коли від добутку відняли 15, то дістали 66. Знайди невідоме число.

Міркування:

Перекладемо задачу з рідної мови на алгебраїчну:

• невідоме число х;

• невідоме число збільшили в 3 рази: х ∙ 3;

• від добутку відняли 15: х ∙ 3 – 15;

• у результаті одержали 66: х ∙ 3 – 15 = 66;

• розв’яжемо рівняння ……, зробимо перевірку …….

Відповідь: 27

Сюжетна задача( 4(3)клас № 1088*)

У їдальні було 90 кг борошна. Кілька днів витрачали по 20 кг борошна на день. Залишилось 10 кг борошна. Скільки днів витрачали по 20 кг борошна?

Міркування:

• Що відомо?.... Що потрібно знайти?

• Позначимо кількість днів, впродовж яких витрачали борошно, через х. Виділимо зв’язки кількості днів з числовими даними. Щодня витрачали по 20 кг. Отже, всього витратили 20∙х кг борошна. Було 90 кг. Залишилось 10 кг. Це число дорівнює різниці числа 90 і знайденого добутку: 90 - 20∙х=10.

Розв’яжемо рівняння і зробимо перевірку

90 - 20 ∙ х =10

20 ∙ х =90 - 10

20 ∙ х=80

х=80 : 20

х=4

90 - 20 ∙ 4 =10

10 = 10

Відповідь: 4 дні витрачали по 20 кг борошна.