3 Комплекстік сандар мен векторлық диаграммаларды электрлік тізбектерді есептеуде қолдану
3.1 Синусоидалы функцияларды айналатын векторлардың проекциясы түрінде келтіру
Алдынғы тарауда қарастырылған синусоидалы токтың электрлік тізбектерін есептеудің тригометриялық түрі өзара индуктивтіліктен контурлар мен қорек көздердің көп санынан тұрмайтын қарапайым электрлік тізбектер үшін ғана қолданылады.
Қарапайым электрлік тізбектерді есптеу үшін есептеудің тригометриялық түрін қолдану қиындыққа әкеледі, сондықтан тұрақты токтың тізбектерін есептейтін әдістер сияқты, айнымалы ток тізбегін есептейтін әдістер керек. Ең ыңғайлы әдіс болып комплекстік амплитудалар (комплекстік әдіс) әдісі саналады. Ол синусоидалы функцияларды айналатын векторлармен алмастыруда негізделген. Әрі қарай ЭТН курсы және басқа электртехникалық пен радиотехникалық пәндер осы әдіске негізделген.
Комплекстік жазықтықтағы әр нүкте, сол нүктенің радиус-векторы сияқты анықталатыны белгілі, яғни вектордың басы координат басымен сәйкес келеді, ал соңы берілген комплекстік санына сәйкес келетін нүктеде орналасқан ( 3.1 сурет).
Комплекстік санды жазудың көрсеткіштік және полярлық түрлерін қолданып келесіні аламыз
А
мұндағы
– модуль;
– аргумент немесе
фаза;
,
-
жорымал бірлік, электртехникасында
әрібі токты білдіргендіктен
,
белгілеуі қолданылмайды.
3.1 Сурет − Комплекстік санды бейнелейтін вектор
Эйлер формуласын қолданып комплекстік санның тригонометриялық түрін алуға болады
А
,
Немесе алгебралық түрін
А
Мұндағы
Осыдан,
Оң
бағытта айналатын вектор, яғни
бұрыштық жылдамдығымен сағат тіліне
қарсы келесі өрнекпен анықталуы мүмкін
A
(3.1)
мұндағы
А
,
берілген
векторды
уақыт
кезінде көрсететін комплекстік амплитуда
(3.2
сурет).
Басқаша
айтқанда, бұл комплекстік шама уақыттан
тәуелді емес, модулі мен аргументі
берілген функцияның амплитудасы мен
бастапқы фазасына тең.
көбейткіші
айналдыру операторы болып келеді; А
комплекстік амплитуданы
көбейтсек, бұл А векторын оң бағытта
бұрышына бұруды білдіреді.
(3.1) комплекстік функциясын тригонометриялық түрде жазамыз
Осыдан
,
синусоидалы фазасы көбейткішісіз алынған (3.1) комплекстік функцияның жорымал бөлігі сияқты қарастырылады немесе айналу векторының жорымал бөлігіне проекциясы сияқты.
Бұл былай жазылады
А
Im символы (3.1) комплекстік функцияның жорымал бөлігі алынатынын білдіреді
А
мұндағы Re символы комплекстік функцияның нақты бөлігі алынатынын білдіреді.
3.2 Сурет − Айналу векторы
Егер синусоидалы функциялар бір жиілікке ие болса, онда осы функцияларға сәйкес келетін векторлар бірдей бұрыштық жылдамдықпен айналады және олардың арасындағы бұрыш өзгермейді.
3.3, а суретінде екі синусоидалы функциялар көрсетілген
,
және
бірдей
бұрыштық жиілігіне ие
функциясы.
функциясы фаза бойынша
функциясынан озып тұрады және фазалардың
ығысуы баспатқы фазалардың айырымына
тең
Осы бұрыш 3.3 б суретінде көрсетілген векторларды өзара құрастырады.
Бастапқы фазалар тең болса, яғни фазалардың ығысуы нөлге тең болған кезде векторлар бір жаққа бағытталған (фаза бойынша сәйкес келеді).
Егер фазалардың ығысуы 180° тең болса, онда векторлар бір-біріне қарама-қарсы бағытталған.
Векторлардың өзара орналасуын ескере отырып салынған векторлардың жиынтығын бейнелейтін диаграмма векторлық диаграмма деп аталады.
а – синусоидалар арасындағы б – векторлардың арасындағы фазалардың ығысуы; фазалардың ығысуы