1.4.2 Тізбектердің контурлық теңдеулерін қалыптастыру үшін топологиялық матрицаларды қолдану.

Резисторлары мен ЭҚК көздері бар b тармақтардан және m тәуелсіз контурлардан тұратын электрлік тізбекті қарастырайық.

Тізбектің әр тармағын өзіне тұйықталған қарапайым тізбек ретінде қарастырайық. Осы қарапайым тізбектердің жиынтығын Кирхгофтың екінші заңы бойынша кернеулер теңдігінің матрицалық теңдеуін келесідей жазамыз

= X ,

немесе қысқартылған түрде келесі формуламен есептелінеді

[E_b]=[R_b]*[I_b]. (1.22)

Әрі қарай қарастырылатын тізбектің топологиясы қосылудың тікбұрышты контурлы матрицасымен бенеленеді [B].

Тармақтың токтары мен контурлық токтар келесі қатынаспен байланысқан

[I_b]=[ B^T]*[ I_k], (1.23)

[В^т]- транспонирланған матрица [В];

[I_k]- контурлық тоқтың бағана матрицасы.

Инвариантты (өзермейтін) қуаттың принципі бойынша аламыз

[E_b] [ I_b]= [E_k] *[ I_k], (1.24)

мұндағы [E_k] – контурлық ЭҚК-нің бағана матрицасы. (1.23) ескеріп (1.24) формуласынан аламыз

[E_b]* [ B^T]* [ I_k]= [E_k]* [ I_k]. (1.25)

Қосылудың контурлық матрицасынан келесіні аламыз

[E_k]= [ B]* [E_b], (1.26)

немесе

[E_b]= [ B^-1]* [E_k], (1.27)

мұндағы [ B^-1] – [B] – ға кері матрица.

(1.23) пен (1.27) -ні (1.22) қойып аламыз

[ B^-1]* [E_k]=[R_b]* [ B^T]* [ I_k],

сол жағындағы барлық бөліктерді [В] матрицасына көбейтіп келесіні аламыз

[E_k]= [ B]* [R_b]* [ B^T]* [ I_k],

мұндағы [R_k] – қарастырылатын тізбектің контурлық кедергілерінің квадраттық матрицасы.

Соңында келесі өрнекті аламыз

[R_k]= [ B]* [R_b] [ B^T], (1.28)

тізбектің матрицалық контурлық теңдеуін аламыз

[E_k]= [R_k]* [ I_k]. (1.29)

(1.29) формуласы (1.19) теңдеуімен дәл сәйкес келеді.

1.5 Екі түйін және түйіндік потенциалдар (кернеулер) әдістері. Потенциалдық диаграмма

1.5.1 Түйіндік потенциалдар (кернеулер) әдісі

Сызықты тізбектерді есептейтін бұл әдіс Кирхгофтың бірінші заңына және Ом заңына негізделген. Түйіндік потенциалдар әдісін түйіндердің саны тармақтардың санынан аз болатын тізбектер үшін қолданған дұрыс және де бұл әдіс тек қана идеалды ЭҚК көздері бар схемалардың тармақтарындағы токтарды табу үшін ыңғайлы (1.30, а сурет). Бұл схемада 4 түйін (у=4) және 7 тармақ (b=7) бар.

Бұл әдіспен схеманы есептегенде бір түйіннің потенциалын нөлге тең деп қабылдаймыз және оны базистік деп атаймыз. Осы кезде тізбектегі токтың таралуы өзгермейді, өйткені қосымша тармақ пайда болмайды. Схеманың басқа түйіндеріндегі ізделулі потенциалдар – бұл базистік кернеуі бойынша олардың кернеулері, сондықтан бұл әдісті түйіндік кернеулер әдісі деп атайды (кернеу – бұл потенциалдар айырымы).

1

4

Егер схемада тек қана ЭҚК бар тармақ болса, онда осы тармақ жалғанған түйіннің біреуін нөлге тең деп алады.

Мысалы бірінші түйіннің потенциалын φ₁ нөлге тең деп аламыз,

φ₁ = 0 – базистік түйін, онда екінші түйіннің потенциалы φ₂ = Е₂ тең.

Белгісіз болып үшінші φ₃ және төртінші φ₄ түйіндердің потенциалдары қалады. Оларды анықтау үшін теңдеулер келесі алгоритм бойынша құрастырылады:

1) қарастырылатын түйіннің потенциалы (φ_К) берілген түйінге келетін тармақтардың өткізгіштіктерінің қосындысына көбейтіледі;

2) осы көбейтіндіге теріс таңбамен, көршілес түйіндердің потенциалдарын қарастырылатын түйінмен қосатын тармақтардың өткізгіштіктеріне көбейтіп жазамыз;

3) теңдеудің оң жағында тармақтардағы ЭҚК мен өткізгіштіктердің көбейтіндісінің алгебралық қосындысы және қарастырылатын түйінге қатысты ток көзі токтарының алгебралық қосындысы жазылады, осымен қатар ЭҚК мен ток көзінің токтары түйінге қарай бағытталса “плюс” таңбасымен, ал түйіннен бағытталса “минус” таңбасымен алынады

(1.30)

мұндағы - тармақтардың өткізгіштіктері.

φ₂ = Е₂ ескеріп (1.30) жүйесін қайта жазамыз

(1.31)

мұндағы ; - қарастырылатын түйінге келетін тармақтардың өткізгіштіктерінің қосындысына тең болатын түйіндердің өзіндік өткізгіштіктері;

- 3 және 4 түйіндердің өзара өткізгіштігі.

(1.31) жүйесінен белгісіз φ₃ және φ₄ потенциалдарын анықтаймыз. Түйіндердің анықталған потенциалдары бойынша Ом заңымен тармақтардағы токтарды анықтаймыз

(1.32)

.

Токтарды есептеудің (1.32) формуласындағы токтар түйіндерден бағытталса, онда түйіндердің потенциалы «плюс» таңбасымен, ал токтар түйіндерге қарай бағытталса, онда олар «минус» таңбасымен кіреді. ЭҚК Е бағыты тармақтағы токтың бағытымен сәйкес келсе , онда ол «плюс» таңбасымен алынады. Әдетте, есептеулерде токтың оң бағытын ерікті алады. Егер есептеулер нәтижесінде ток теріс таңбамен шықса, онда оның нақты бағыты алынған бағытқа қарама - қарсы болады.

Ток көзінің қыспақтарындағы кернеу

.

Е₂ ЭҚК тармағындағы I₆ тогы Кирхгофтың бірінші заңы бойынша есептелінеді

I₆ = - I₁ + I₅

Ток I₇ = J.

1.5.2 Екі түйін әдісі

Параллель қосылған кезде екі түйін арасында бірнеше тармақ орналасады, осы кезде барлық тармақтардағы кернеу бірдей болады ( 1.30,б сурет).

a

I₁

E₁

J

φ_b = 0 – базистік түйін деп аламыз, ал "а" түйінінің φ_а потенциалы белгісіз болады. φ_а потенциалын анықтау үшін теңдеу келесідей

мұндағы - тармақтардың өткізгіштіктері.

Схеманың екі түйіні арасындағы кернеу келесі формула бойынша анықталады

. (1.33)

U_ab кернеуінің мәнін біліп Ом заңы бойынша тармақтардағы токтарды анықтаймыз (токтардың оң бағыты ерікті алынады)

Осы формулаларға U_ab кернеу мен ЭҚК «плюс» таңбасымен кіреді, егер олардың бағыттары тармақтардағы токтармен сәйкес келсе.

Ток көзіндегі кернеу

U_J = φ_a – φ_b = U_ab