8.1 Сурет – Уақыттың мерзімді синусоидалы емес функциясы

Мұндай функцияның жіктелу түрі санамалау басын таңдауға байланысты ( 8.3 параграфты қарау).

Т уақыты аралығының шегінде функциясы егер нүктесінде үздіксіздік үзігін өткеруде болса, оң (яғни мәнінен) жақтан да, сол (яғни мәнінен) жақтан да үзілу нүктесіне жақындау кезіндегі функциясының шегі болады. Бұл шектер шартты түрде және немес және етіп белгіленеді. Үздіксіздіктің үзілуінің бұндай нүктелері бірінші жақтың үзілу нүктесі деп аталады.

Т уақытының аралық шегінде бірінші жақтың үзілу саны, сонымен қатар f(t) функциясының максимумдары мен минимумдарының саны шекті деп есептейік. Осылайша, Дирихле шартын қанағаттандыратын функцияларды қарастырамыз; шынайы электр тізбегіндегі ЭҚК, тоқ және кернеу осы шарттарды қанағаттандыратындығын аңғарған жөн.

Дирихле шарттарын қанағаттандыратын периодты синусоидалы емес функция шексіз гармоникалық қатар Фурье қатары түрінде келуі мүмкін. Бұл қатардың қосындысы бұл функцияның барлық үздіксіздіктеріне арналған мәндерімен сәйкес келеді, ал үзілку нүктесінде шекті мәннің оң және солының орташа арифметикалығын береді, яғни

.

етіп белгілеп,  негізгі бұрыштық жиілік деп атаймыз.  бұрыштық жиілікті синусоидалы және косинусоидалы қосындылауыштар негізгі гармониканы түзеді. Аса жоғары бұрыштық жиілікті қосындылауыш жоғарғы гармониканы білдіреді. Гармоникалық қатар тригонометриялық түрде келесі формула бойынша есептелінеді

, (8.1)

мұндағы

; (8.2)

; (8.3)

мұндағы – тұрақты қосындылауыш;

а_n және b_n – қатардың косинусоидалы және синусоидалы мүшелерінің амплитудалары.

кезінде 8.2 мәнінің негізінде анықталатын тұрақты қосындылауыш функциясының мерзім үшін орташа мәнін білдіреді. 8.2 суретте бейнеленген оң және теріс мәндердің ауданы бірдей болғанда, ол нөле тең болады.

8.2 Сурет – Мерзім үшін орташа мәні нөлге тең синусоидалы емес функция

Фурье қатарының а_n және b_n коэффициенттері -ге тәуелді емес; сондықтан мәні еркін таңдалынуы мүмкін. (8.2) және (8.3) формулаларындағы интеграласты функция Т периодына ие екендігін есепке алсақ, оған оңай көз жеткізуге болады. Интеграласты функциясын арқылы белгілегенде алатынымыз

болатындықтан,

айнымалысын алмастыру арқылы табатынымыз

.

Кезегінше,

Алынған нәтижені былай да түсіндіруге болады: және интегралдары білдіретін аудандар тең, себебі интеграласты функциясының мерзімдік күшіне орай t -дің кез-келген өзгерісі берілген функция мен мерзім үшін абциссалар осі шектейтін ауданды өзгертпейді.

етіп қойып, жаңа айнымалысын енгізе отырып ( және екенін есепке ала отырып), келесі формуланы анықтаймыз

, (8.4)

мұндағы

; (8.5)

. (8.6)

етіп қабылдасақ, онда интеграциялану шегі сәйкесінше және -ге тең болады.

(8.1) немесе (8.4) формулалары білдіретін косинусоида мен синусоида қосындысы, тек сәйкес бастапқы фазалары бар бір синусоидалардың қосындысы түрінде келуі мүмкін.

Егер шартты қабылдасақ

, (8.7)

мұндағы

онда қатар келесі түрге ие болады

. (8.8)

бұрышы (синус пен косинус белгісін анықтайтын) а_n және b_n белгілерін есепке алатынынеске салайық.

(8.8) формасы әрбір гармониканың пайыздық арақатынасын білу қажет жағдайда ғана ыңғайлы; ол әдетте электр тізбектеріндегі синусоидалы емес тоқ пен кернеуді есептеу үшін қолданылады (8.5 параграфты қара).

Фурье теориялық қатарында қосындылауыштың шексіз саны болса да, ол тез шығарылады. Шығарылған қатар берілген функцияны кез-келген талап етілген нақтылық дәрежесінде бейнелеуі мүмкін; егер ол ез шығарылса, онда талап етілетін нақтылық дәрежесін алу үшін гармониканың шағын мөлшерін алсақ та жетеді.

Тәжірибиеде кездесетін мерзімді синусоидалы емес функциялар екі топқа бөлінуі мүмкін. Бірінші топқа геометриялық дұрыс формалы қисықтар, ал екінші топқа күрделі формалы қисықтар жатқызылады; оларда Фурье қатарына жіктеу графоаналитикалық түрде жүргізіледі.

Фурье қатарына графоаналиикалық әдісі сандық интеграциялаудың жақындатылған әдісін білдіреді. Ол кезде белгілі интегралды есептеу қосындылауыштардың шекті санының қосындысын табумен алмастырылады. Осы мақсатта 2 -ге тең функциясының мерзімі болатындай етіліп, -ның m тең аралығына бөлінеді.

Координаталардың басынан k аралығына дейінгі қашықтық бұрышын құрайды.

k аралығы ортасындағы мерзімді синусоидалы емес функциясының мәне бола берсін.

(8.5) және (8.6) мәндеріне енетін интегралдар мына қосындылармен алмастырылады

Егер мерзім шегінде үзілу нүктелері болса, онда берілген жіктеудің графикалық әдісі кезінде аралықтарға бөлуді үзілу нүктелері аралықтың орталарында болмайтындай етіп жасаған жөн болар.

Жоғарыда сипатталған Фурье қатарына графоаналитикалық жіктеуді орындау техникасы кезінде функция мәндері аралықтың ортасында алынған; егер оның орнына мәндерді аралықтың басында немесе соңында алсақ, онда жұп функцияда жоқ синусоидалар да пайда болады.