8.2 Симметрия жағдайы

Электрлік және магнит шамаларын бейнелейтін мерзімдік сиеусоидалы емес функцияларында симметрияның қандай да бір түрі болады және ол Фурье қатарына жіктеуді оңайлатады.

Симметрияның келесі жағдайларын қарастырайық:

8.2.1 Функциясы ординаттар осіне қатысты симметриялы яғни = , ол 8.3 суретінде бейнеленген. Бұндай функциялар жұп дпе аталады. Кез-келген жиіліктің синусоидалары тақ функция болатындықтан, олар қатар құрамына енбейді.

8.3 Сурет – Ординаттар осіне қатысты симметриялы функция

Сондықтан симметрияның берілген түрі кезінде

,

яғни, жұп функцияда 8.3 суретінде көрсетілгендей, тек косинусоида мен тұрақты құрауыш қана болады.

Жұп функцияның тағы бір маңызды қасиеті а_n коэфиценттерін анықтау үшін жарты мерзім бойында f ( ) қисығын ғана пайдалану жеткілікті болатындығында, яғни

. (8.9)

Бұл келесі теңдіктен шығады

Бірінші аралықта -ны -ға алмастыру (8.9) формуласына әкеледі.

8.2.2 8.4 суретіне сәйкес функциясы координаттар басына қатысты симметриялы, яғни = ( ).

8.4 Сурет – Координаттар басына қатысты симметриялы функция

Бұндай функциялар тақ деп аталады. Тұрақты қосындылауыш пен косинусоида бұл жағдайды қанағаттандырмайтындықтан, симметрияның берілген түрінде қатар келесі түрге ие болады

яғни тақ функцияда тек синусоидалы ғана болуы мүмкін.

Бұнда да алдыңғы жағдайдағы сияқты b_n коэфиценттерін анықтау үшін жарты мерзім бойында тек қисығын пайдаланса ғана болғаны, яғни

. (8.10)

8.2.3 8.5 суретіне сәйкес f( ) функциясы екі жартылай мерзімді уақыт бойынша қатарластырған кезде абциссалар осіне қатысты симметриялы, яғни = .

(8.4) формуласына сәйкес -ны алмастыра отырып, алатынымыз

бұдан n жұбы үшін

8.5 Сурет – Абциссалар осіне қатысты симметриялы функция

Бұл жағдайда жұп n кезінде а_n=0 және а_n= b_n= 0 болса, α (альфа) еркін мәндері кезінде қанағаттандырылады.

Сондықтан симметрияның берілген түрінде

яғни уақыт бойынша екі жартылай мерзімді қатарластырған кездегі абциссалар осіне қатысты симметриялы функцияда тек тақ гармоникалар ғана болады.

Бұл жағдайда а_n және b_n коэффиценттері (8.9) және (8.10) формулалары бойынша есептелінуі мүмкін.

Мерзімді синусоидалы емес функцияны Фурье қатарына орналастырғанда, алдын-ала берілген функция симметрияның қандай да бір түріне ие емес пе екендігін анықтап алған жөн. Симметрияның болуы жіктеу барысында қандай гармоникаларды күтуге болатындығын болжауға мүмкіндік береді.

Егер симметрия шарттары біруақытта 1 және 3 пп. бойынша орындалса, онда жіктеуде тек тақ косинусоидалар, егер 2 және 3 пп. бойынша орындалса, онда тек тақ синусоидалар болады.

Енді тек тақ косинусоидалары ғана бар функция, сонымен қатар

шартын да қанағаттандырады делік. Тақ кезінде болатындықтан, бұл жағдайда коэффиценттерін анықтау үшін периодтың төрттен бір бөлігі бойында f (α) қисығын пайдалану жеткілікті

. (8.11)

Өз кезегінде егер тек тақ синусоидалары ғана бар функция шартын қанағаттандырса, онда тақ кезде де екенін ескергенде, бұл жағдада да b_n коэффиценттерін анықтау үшін мерзімнің төрттен бір бөлігі бойында қисығын пайдалану жеткілікті

. (8.12)

Симметрия түрлері санамалау басын таңдауға байланысты болады. Егер санамалау басын таңдау мүмкін болса, онда оны ең көп симметрия алуға болатындай етіп таңдаған жөн.