1.12 Сурет

Кирхгофтың бірінші заңы: түйіндегі токтардың алгебралық қосындысы нөлге тең

∑ I = 0. (1.1)

Бұл заң электр тізбектерінің түйіндері үшін қолданылады. Түйіндегі токтардың векторлық диаграммасы 1.13 суретінде көрсетілген.

1.13 Сурет

Қарастырылатын түйінде тоғысқан тармақтардың токтары қосылады. Токтардың бағыттары алынған оң бағыттарға сәйкес келеді. Түйінге бағытталған барлық токтар (1.1) фомуласында «+» таңбасымен ,ал түйіннен бағытталған токтар «-» таңбасымен алынады.

1.1 суретінде көрсетілген түйін үшін келесі формуланы аламыз

I₁ + I₂ – I₃ + I₄ – I₅ = 0.

Немесе осылай да жазуға болады

I₁ + I₂ + I₄ = I₃ + I₅.

Кирхгофтың бірінші заңы бойынша тізбек түйінінде электр зарядтары жиналмайды және шығындалмайды.

Кирхгофтың екінші заңы: кез-келген тұйық контурдағы ЭҚК алгебралық қосындысы, осы контурдың резисторларындағы (кедергілеріндегі) кернеулердің кемулерінің алгебралық қосындысына тең. Резистивті элементі бар тізбек үшін келесі теңдеуді аламыз

. (1.2)

Контурдың айналу бағытын ерікті аламыз. Контурды айналған кезде таңбалар ережесін сақтау керек. Кернеудің кемуі мен ЭҚК айналу бағытпен сәйкес келсе, онда олар (1.2) теңдігінде «+» таңбасымен, , ал айналу бағытпен сәйкес келмесе «-» таңбасымен алынады. Онда 1.14 суреттің контуры үшін келесіні аламыз

.

1.14 Сурет

Электр тізбектеріндегі энергетикалық тепе-теңдік: тізбек резисторларында ток болса, Джоуль жылуы бөлінеді. Уақыт бірлігінде шығындалатын қосынды энергия (қуат шығыны деп аталатын), сол уақытта қорек қөзімен берілетін қосынды энергияға (қорек көзінің қуаты) тең болуы керек – электрлік тізбектерге қатысты энергияны сақтау заңы.

Джоуль – Ленц заңы: кез- келген кедергідегі жылулық энергияның қуаты, осы кедергінің шамасына токтың квадратының көбейтіндісіне тең

.

Қ уат тепе-теңдігі − электр энергия көздерінің қуаттары энергия қабылдағыштарының қуаттарына тең болуы керек

P_көз = P_қаб,

мұндағы , .

k тармағындағы қорек көзінің Е_к ЭҚК мен k тармағындағы I_к тоғының көбейтіндісі “+” таңбасымен алынады, егер k тармағындағы ЭҚК мен токтың бағыттары сәйкес келсе. Тармақтардағы табылған I_к токтары мен ток көзіндегі кернеу U_J өз таңбаларымен ескеріледі. Ток немесе ЭҚК көздерімен өндірілетін қуат теріс таңбамен шықса, онда қорек көзі қуатты өндірмейді, ал оны тұтынады.

Ток пен кернеулердің есептеу дұрыстығын тексеру үшін өндірілетін (қорек көзінің қуаты) және тұтынылатын қуаттар (қабылдағыштардың қуаты) салыстырылады

.

1.15 суретінде көрсетілген схема үшін қуаттар тепе-теңдігі келесідей жазылады

Р_И = I₁ E₁ + E₂ I₂ + E₆ I₆ + U_J J;

.

1.15 Сурет

Негізгі топологиялық түсініктемелер мен қатынастар – бұл электр тізбегінің графы және оның элементтері. Кез-келген электрлік тізбек элементтер жиынтығымен сипатталады және олардың қосылу тәсілі немесе топологиясымен.

Тізбектің топологиялық (геометриялық) қасиеттері тармақтардағы элементтердің қасиеттері мен түрінен тәуелді емес. Сондықтан бастапқы электрлік тізбектің тармақтарын қарапайым сызық кескінімен алмастыруға болады. Осындай бейнені граф деп атайды және ол 1.16 суретінде келтірілген.

а) б) в)

1.16 Сурет

Граф дегеніміз тармақтардың жиынтығы, олардың жалпы нүктелері шекаралық болып келеді және түйін деп аталады. Тармақтары – графтың қабырғалары; түйіндері – графтың шыңы.

Графтың тармақтарына стрелка арқылы бағыт беріледі (әдетте олар сәйкес тармақтардағы токтардың ерікті алынған оң бағыттарымен сәйкес келеді).

Әр тармақ өз бағытына ие болғандықтан, 1.16,а суретінде 1.3,а суретіндегі схеманың бағытталған бейімделген графы бейнеленген.

Берілген схеманың графы әртүрлі бейнеленуі мүмкін, бірақ графтың тармақтар мен түйіндер саны схемаға сәйкес келуі керек. 1.16,в суретінде 1.16,а суретіндегі схеманың бағытталмаған (бейімделмеген) графы бейнеленген.

Граф ағашы – бірде-бір контур жасамайтын және барлық түйіндерді қосатын тармақтардың жиынтығы, 1.17,а,б суретінде бейнеленген бірыңғай сызықтар.

а) б)

1.17 Сурет

Ағаштың тармақтар саны түйіндердің санына қарағанда бір тармаққа аз болады, яғни Кирхгофтың заңдарымен құрастырылатын тәуелсіз контурлардың n санына тең болады

n = y – 1, (1.4)

у – схемадағы түйіндердің саны.

Байланыс тармағы (байланыс,хорда) – ағаштың ішіне кірмейтін графтың кез-келген тармағы.

Хордалар (байланыс тармақтары) ағашты схема графына дейін толтырады.

1.17, а, б суретінде хордалар пунктир сызықтармен көрсетілген.

Егер схема графындағы тармақтар саны в тең болса, онда граф [в – (у–1)] хордалардан (байланыс тармақтардан) тұрады. Мысалы 1.16, а, б, в суретінің графында в тармақ (в =6) және у =4 түйін бар, онда ағаштың тармақтар саны (у–1)=3, байланыс тармақтардың саны [в-(у-1)]=3. Байланыс тармақтардың саны Кирхгофтың екінші заңымен құрастырылатын тәуелсіз контурлардың санын анықтайды.

Кирхгофтың екінші заңы бойынша тізбектің тәуелсіз контурлары үшін m теңдеу құрастырылады. Тәуелсіз контурларды құрастырған кезде тізбектің барлық тармақтары (ток көзі кіретін тармақтардан басқа) кіру керек. Контурларды құрастырған кезде әр контурдың ішіне басқа контурларға кірмейтін бір тармақ болуы тиіс. Контурлардың саны хордалардың санына тең болғандықтан, тәуелсіз контурларды құрастырғанда графтың ағашы мен хордаларын қолдануға болады.

Сондықтан тізбекті Кирхгофтың заңдарын қолданып есептесе m + (у–1) теңдеу құрастырылады.

Топологиялық матрицалар. 1.16, а, в суретінде бейнеленген тізбек және оның графы 6 тармаққа және 4 түйінге ие, онда тәуелсіз контурлардың саны 3 тең.

Кирхгофтың бірінші заңы бойынша 3 түйін үшін келесіні жазамыз 1 түйін: – I₂ – I₅ – I₆ = 0; 2 түйін: I₁ + I₂ – I₃ = 0;

3 түйін: I₃ – I₄ + I₆ = 0.

Дәл осыны матрица түрінде

x = 0,

қысқартылған түрде ( Кирхгофтың бірінші заңының матрицалық түрінде жазылуы)

* = 0, (1.5)

мұнда = – қосылу матрицасы.

Қосылу матрицасы немесе түйіндік матрица А - бұл Кирхгофтың бірінші заңы бойынша құрастырылған тәуелсіз теңдеулердің коэффициенттер кестесі. Жолдар түйіндерге (олардың саны у-1 тең), бағандар тармақтарға (олардың саны в тең) сәйкес келеді.

Осымен матрицаның элементтері 0, 1, (–1) тең, егер берілген тармақ сәйкесінше берілген түйінмен қосылмаса, берілген түйінге бағытталса, берілген түйіннен бағытталса.

В контурының матрицасы – бұл Кирхгофтың екінші заңы бойынша m = в – (у–1) тәуелсіз контурлар үшін құрастырылған тәуелсіз теңдеулердің коэффициенттер кестесі. Жолдар контурларға (олардың саны m тең), бағандар тармақтарға сәйкес келеді.

Осымен матрицаның элементтері 0, 1, (–1) тең, егер контурдың айналу бағыты тармақтың бағытымен сәйкес келсе ( 1.16, б сурет)

В = .

Матрица – тізбек тармақтарының кедергілеріндегі U кернеудің кемуінің бағаны

U = .

Матрица – ЭҚК бағаны ( 1.16, а сурет)

Е .

Кирхгофтың екінші заңының матрицалық теңдеуі

. (1.6)

Ток, кернеу, ЭҚК комплекстік мәндері үшін Кирхгофтың бірінші және екінші заңы бойынша теңдеулер (1.16, а сурет).