8.3 Санамалау басын көшіру
Кейбір мерзімді синусоидалы емес функциясы үшін аn және bn коэффиценттері берілді делік, яғни берілген функцияны Фурье қатарына жіктеу белгілі
Егер
санамалау басының координаттардың
алғашқы басына қатысты
β
үзіндісіне оңға немесе солға орнын
ауыстырсақ, онда жаңа координаттық
жүйеге қатысты Фурье қатарына жіктеуді
-ны
-ге
алмастыру арқылы жүзеге асырамыз,
мұндағы
– жаңа
координаттар жүйесіндегі абсцисса;
β-нің
оң мәні санамалаудың жаңа бастауын
оңға, ал теріс мәні – солға көшіруге
сәйкес келеді.
Сонымен,
(8.13)
Егер біріншінің орнын абциссаның осі бойынша тұрақты мәнге ығысуының нәтижесінде алынатын басқа функцияға арналған Фурье қатарының коэффиценттері белгілі болғанда, бұл формула функцияларды Фурье қатарына жіктеуді тез табуға мүмкіндік береді.
8.4 Фурье қатарының кешенді формасы
Фурье қатарының тригонометриялық формасы кешендіге келесі түрде қайта түрленуі мүмкін
осыған байланысты (8.4) формуласында жақшаға алынған мән мына түрге келеді
,
(8.4) қатары келесі түрде жазылады
(8.5) және (8.6) мәндеріне байланысты n-ге қатысты аn жұп, ал bn тақ, яғни n-нің теріс мәні кезінде өз белгісін сақтайды, ал bn өзгертеді
,
.
Сондықтан, келесіні есепке алу арқылы
Осылайша, Фурье қатарының кешенді формада ие болатын түрі
(8.14)
мұндағы кешенді коэффицент (кешенді амплитуда) (8.5) және (8.6) сәйкес келесі формула бойынша есептелінеді
.
(8.15)
Жоғарыда
көрсетілгендей,
кезегінше
(8.14)
қатарында
бұрыштық жылдамдықпен қарама-қарсы
бағытта айналатын векторлердің нақтылы
осіне қатысты түйіндестірілген екі
шексіз қатар болады. Түйіндестірілген
векторлердің әрбір сыңарының геометриялық
қосындысы 8.6 суретінде бейнеленген
нақтылы мәнді ғана береді. Түйіндестірілген
векторлердің екі шексіз қатарларын
қосындылау нәтижесінде
нақтылы функциясы пайда болады.
8.6 Сурет – Қарама-қарсы бағытта айналатын екі түйіндестірілген векторлердің қосындысы түріндегі синусоидалық функция
8.5 Фурье қатарын мерзімді синусоидалы емес үрдісті есептеуге қолдану
Мерзімді синусоидалы емес ЭҚК-нің ықпалындағы электр тізбегіндегі тоқты табу қажет делік
.
Мұнда m индексімен гармоника амплитудалары белгіленген.Егер тізбек желілік болса, яғни r, L, М және С параметрлері өзгермейтін болса, онда тізбектегі тоқ беттестіру әдісімен әрбір қосындыланушы ЭҚК жеке түзетін тоқтарды қосындылау жолымен табылады.
,
(8.16)
мұндағы
.
дегеніміз
нөлге тең жиілік кезіндегі тізбек
кедергісі, яғни тұрақты тоққа деген
кедергі;
–
жиілігі кезіндегі толық кедергі..
бұрышы
тізбектің реактивті кедергісінің оның
жиілік кезіндегі активті кедергісіне
деген қатынас арктангенсі түрінде
анықталады.
Тізбек кезекті байланысқан r, L және С элементтерінен тұрған жағдайда
Сонда
,
себебі тұрақты тоққа арналған тізбек
ажыратылған.
Гармоника
нөмірінің өсу шамасына байланысты, яғни
жиілігі ұлғайған сайын
индуктивті
кедергі тура желі заңы бойынша өседі,
ал
сыйымдылық кедергісі гипербола заңы
бойынша кемиді. Сондықтан r
және L
кезекті
байланысудан құралған тізбекте тоқ
гармоникасы қайнаркөз ЭҚК-сіне қарағанда,
әлсіз көрініс табады. Оған қарағанда
тізбектегі r
және С-тен
құралған жоғары гармоникалар үлкен
мәнге ие болуы мүмкін.
Индуктивті-сыйымдылықты
аралас тізбекте
n-дік
гармоника үшін резонанс құбылысы болады.
r, L және С элементерінен құралған жалпы жағдайда, реактивті де, активті де кедергілер жиілігінің функциясы болып табылады (9.3 параграфті қара).
Әртүрлі
гармоникалар мерзімі гармоника нөміріне
кері пропорционал. Сондықтан, егер
абциссалар осі бойынша
уақыты
емес, ал
бұрышы
алынса, онда негізгі гармониканың
бұрышына
сол абциссада 8.7 суретінде бейнеленгендей
n
–дік гармоникаға арналған
бұрышы сәйкес келеді.
8.7 Сурет – Әртүрлі гармоникалар үшін бұрыш масштабтарының арақатынасы
Тармақталған электр тізбектеріндегі периодты синусоидалы емес тоқ пен кернеулердің есебі кешенді формада жүзеге асырылады.
Егер периодты синусоидалы емес ЭҚК (8.8) түрінің Фурье қатарының тригонометриялық формасында берілсе, онда ЭҚКмен тоқ келесі түрде келуі мүмкін
;
,
мұндағы
,
.
Сәйкесінше,
мерзімді
синусоидалы емес тоқты есептеудің
кешенді формасы n-нің
әртүрлі мәндеріне арналған ЭҚК-нің
берілген кешенді амплитудаларына сәйкес
тоқтың кешенді амплитудаларын табуда
жатыр. Сонда жеке қосындылауыштарда
біртексіз жиілік болатындығына байланысты
кешенді амплитудалар қосылмайды, ал
әртүрлі бұрыштық жылдамдықпен айналатын
векторлер проекциясы қосылады, яғни
жеке гармоникалардың лездік мәндері
қосылады.
Мысал
8.1 Есеп 8.8 суретіндегі қосынды сұлбада қосынды тоқты есептеу
