где х_к, у_к, 2_к — координаты точек приложения сил тяжести р_к, действующих на частицы тела.

Отметим, что согласно определению центр тяжести — это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

16. Координаты центра тяжести однородного тела

Для однородного тела вес р_к любой его части пропорционален объему и_кэтой части: р_к=у и_к, а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела, т. е. P= у V, где у — вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и р_к в формулы (27), получим

Xc= VZихк, yc=VZОкУк, Zk=VZтк. (28)

Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины у не зависит.

Если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

^хс= SZ^Sk^хь Ус= SZ5_кук . ⁽²⁹⁾

где S— площадь всей пластины; s_к— площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами (29), называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:

^Xc=LZ¹к^хк^,yc=LZ1кУк^,^=Lz ⁽³⁰⁾

где L— длина всей линии; 1_к — длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Из свойств симметрии следует, что центр тяжести однородного круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямоугольного параллелепипеда, шара и других однородных тел, имеющих центр симметрии, лежит в геометрическом центре (центре симметрии) этих тел.

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (29) — (32). При этом число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело. Если тело содержит полость или отверстие, то соответствующее слагаемое будет отрицательным.

21

Глава 2.

КИНЕМАТИКА

1. Введение в кинематику

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета причин, вызывающих эти движения.

Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как установление основных кинематических понятий и зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при изучении передач движения в механизмах.

Механическое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство рассматривается как обычное трехмерное евклидово пространство. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно. За единицу длины при измерении расстояний принимается 1м, за единицу времени - 1с.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому возникает необходимость сначала изучить движение отдельных точек тела. Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь какое-нибудь неподвижное тело и связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Изображать систему отсчета принято в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны). В кинематике система отсчета выбирается произвольно, и в отличие от ди­намики все кинематические зависимости, полученные при изучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой системе отсчета.

Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было каким-то образом задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) — значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Установление математических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Поэтому изучение движения любого объекта начинают с установления способов задания этого движения.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения, установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение (траекторию, скорость, ускорение).

Изучение кинематики начинают с изучения движения простейшего объекта — точки, а затем переходят к изучению кинематики твердого тела.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называют траекторией точки. По виду траектории движения принято делить на прямолинейные и криволинейные.

22