Входящее сюда касательное ускорение точки представим в виде

_ du_ du ds _ du ^Tdt ds dt ds

В результате найдем, что ^mu~^= ^F_kT.Умножим обе части этого равенства на ds

и внесем mпод знак дифференциала. Тогда, замечая, что F_kTds=dA_k,где dA_k— элементарная работа силы F_k,получим

d

( 2 Л

mu'

_£ dAk.

2

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах,

соответствующих значениям переменных в точках М₀ н M,найдем окончательно

2 2 mu₁mu₀_^ _A

^_₂Y~ _ ^ ^А(М 0^м 1)

Полученное уравнение и выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде.

3. Свободные линейные колебания точки

Теория колебательного движения составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих колебаний во всех случаях остаются одними и теми же

orм

~Т у ■! ¹

Рис.9

Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы Fна осьОх (рис.9) будет

Fx= - cx. (38)

Примером, такой силы является сила упругости или сила притяжения.

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х, получим

mх =F_xили т х = — сх.

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение

приведем уравнение к виду

c/m=k²

х +к²х= 0. (39)

Уравнение (39) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

58

x=C₁sinkt+C₂cosk (40)

где С₁ и С₂ — постоянные интегрирования. Если вместо постоянных С₁ и С₂ ввести постоянные Aи a, такие, что Q=A^sa, C₂=Asina,то получим x=A (sinktcosa +cosktsina )или

x=Asin(kt+ a). (41)

Это другой вид решения уравнения (39), в котором постоянными интегрирования являются А и a. Им удобнее пользоваться для общих исследований. Колебания, совершаемые точкой по закону (69), называются гармоническими колебаниями. ВеличинаА, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний. Величина cp=kt+ aназывается фазой колебаний, а а - начальной фазой. Величину к называют угловой (круговой) частотой колебаний.

Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2 п. Следовательно,

Т=2п/к.

Величина v,обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за 1 с, называетсячастотой колебаний

v =l/T=k/2n.

Скорость точки в рассматриваемом движении

u_x= x =Akcos (kt+ a), (42)

а ускорение

a_x= x =-Ak²sin(kt+a). (43)

Т. е. скорость и ускорение также меняются по гармоническому закону.

Найдем теперь значения постоянных интегрирования Aи a, используя начальные условия: при t=0 х=х₀ и v_x=v₀.Из (41) и (42), получаем

x₀=A sin a, v₀/k=A cos a.

Отсюда, складывая квадраты этих равенств, а затем деля их почленно одно на другое, находим

A = -Jx² + u0/ k², tga = kx₀/ u₀. (44)

В заключение отметим следующие важные свойства свободных колебаний: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2) частота k, а следовательно, и период Tколебаний от начальных условий не зависят и являются неизменными характеристиками данной колебательной системы; 3) можно показать [1], что постоянная сила P, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения Л_ст =Р/с. Период колебаний пропорционален корню квадратному из статического отклонения

^T= ^2П™Кт^/g .

59